الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا 2023 - الدورة العادية - علوم المهندس - مسلك العلوم الرياضية (ب)

### Examen national du baccalauréat — Session normale 2023 — Sujet **Matière :** Sciences de l'Ingénieur — **Filière :** Sciences Mathématiques, option Sciences Mathématiques B — **Code :** NS 44 **Durée :** 3 h — **Coefficient :** 3 # TÉLÉPHÉRIQUE Le sujet comporte 18 pages : présentation (p. 1-5), documents réponses D.Rep (p. 6-12), documents ressources D.Res (p. 13-18). Calculatrice scientifique non programmable ; aucun document autorisé. Sauf indication contraire, prendre deux chiffres après la virgule. > Les schémas, vues 3D et dessins (chape de pied, circuit hydraulique) figurent dans le sujet officiel ; leur contenu utile est résumé ci-dessous. --- ## Présentation du système Un nombre croissant de villes (notamment **Agadir**) utilise le transport par câble aérien (**téléphérique**). Le téléphérique étudié est un système de transport à **cabines monocâble débrayables** : un seul câble, à la fois porteur et tracteur ; les cabines se détachent du câble en station (embarquement/débarquement) puis s'y attachent à nouveau. Constituants : - **Dispositif d'entraînement du câble tracteur** (station amont) : mouvement unidirectionnel à vitesse constante par une roue motrice ; mode normal ou mode de secours ; - **Dispositif d'entraînement dans les stations** (pneus ralentisseurs et lanceurs) — non étudié ; - **Dispositif de tension du câble** (station aval) : régule la tension selon le poids des passagers et la température ; - **Dispositif de freinage** : frein de service et frein d'urgence (agit sur la roue motrice) ; - **Dispositif de commande et de contrôle** : automates programmables ; capteurs (force 1S, déplacement LVDT, température CT, fermeture des portes CF…) ; boutons du pupitre ; deux dynamos tachymétriques DT1 (câble) et DT2 (moteur) ; deux capteurs optiques de position des cabines ; écran tactile. --- ## Situation d'évaluation n°1 (7 pts) - **Q.01.** Exprimer le besoin du téléphérique (bête à cornes). **(0,75 pt)** - **Q.02.** Compléter le diagramme des interactions et la liste des fonctions de service : FP1 transporter des passagers dans des cabines à des altitudes importantes ; FP2 assurer la sécurité des passagers ; FC1 maintenir la stabilité des cabines ; FC2 alterner entre deux sources d'énergie en cas de besoin ; **FC3, FC4, FC5 à compléter** (éléments : énergies, maintenance, agressions extérieures, environnement…). **(1,5 pt)** - **Q.03.** Compléter le FAST partiel de FP1 : FT1 (dispositif d'entraînement du câble tracteur) ; FT2 (dispositif d'entraînement dans les stations) ; FT3 (dispositif de tension) ; FT4 (dispositif de freinage) ; FT5 (dispositif de gestion et de contrôle). **(1,25 pt)** - **Q.04.** Compléter la chaîne fonctionnelle du téléphérique (chaîne d'information : acquérir — 1P, 1S, HP, LVDT, CT, CF, boutons ; traiter ; communiquer — signalisations… ; chaînes d'énergie : réseau électrique → variateur → … ; réservoir de carburant → système d'injection → moteur thermique de secours → … ; … → distributeur → … → système de transmission ; action : roue motrice + câble entraîne la cabine ; … assure la tension du câble). **(3,5 pts)** ## Situation d'évaluation n°2 (4,5 pts) **Chaîne de transmission (D.Res 1)** : mode normal : moteur principal (Nmp) → OT2 → OT1 → roue motrice/câble → cabine (Vc). Mode de secours : moteur thermique (Nms) → OT6 → OT5 → OT4 → OT3 → OT2 → OT1 → roue motrice/câble → cabine (Vc'). OT1 : réducteur principal Rdp ; OT2 : système poulies-courroies ; OT3 : ? ; OT4 : réducteur de secours Rds ; OT5 : coupleur ; OT6 : ?. *OT3 permet la transmission vers la roue motrice lorsque le moteur de secours est en marche, mais pas lorsque c'est le moteur principal ; sa commande est électromagnétique et il ne modifie pas la vitesse.* OT6 : arbre à deux articulations (vue 3D). **Caractéristiques (D.Res 2)** : roue motrice/câble : adhérence sans glissement, **dr = 2,7 m**, rendement 100 % ; Rdp : **kp = 1/50**, η1 = 90 % ; poulies-courroies : **de = 134 mm**, **ds = 240 mm**, η2 = 90 % ; Rds : ks = ?, η4 = 90 % ; moteur diesel de secours : Pus = 537 kW, **Nms = 2100 tr/min**. Catalogue des réducteurs de secours : | Type | Rapport | Nentrée | Nsortie | Puissance maxi à l'entrée (kW) | Poids (kg) | |---|---|---|---|---|---| | TH1HC1-1 | 0,35 | 2100 | 735 | 750 | 585 | | TH1HC1-2 | 0,35 | 2100 | 735 | 560 | 405 | | TH1HC2-1 | 0,8 | 2100 | 1680 | 460 | 210 | | TH1HC2-2 | 0,8 | 2100 | 1680 | 385 | 110 | | TH1HC3-2 | 1,25 | 2100 | 2625 | 750 | 585 | | TH1HC3-3 | 1,25 | 2100 | 2625 | 560 | 405 | Moteurs asynchrones 2 pôles (230/400 V – 50 Hz) : PLS 315 L (250 kW ; 2975 tr/min) ; PLS 315 M (355 kW ; 2965) ; PLS 315 VLG (450 kW ; 2975) ; PLS 355 LB (710 kW ; 2978). - **Q.05.** Compléter le nom et la fonction de OT1 et OT2. **(0,5 pt)** - **Q.06.** Donner le nom et le symbole de OT3. **(0,5 pt)** - **Q.07.** Compléter l'actigramme de OT6. **(0,75 pt)** En mode normal **Vc = 4,7 m/s** ; en mode de secours la norme impose **Vc' = Vc/4**. - **Q.08.** Expression de Vc en fonction de Nmp (tr/min), de, ds, dr et kp. **(0,5 pt)** - **Q.09.** En déduire Nmp en mode normal. **(0,25 pt)** - **Q.10.** Expression de Vc' en fonction de Nms, de, ds, dr, kp et ks. **(0,5 pt)** - **Q.11.** En déduire le rapport ks du réducteur Rds. **(0,25 pt)** - **Q.12.** Choisir la référence du réducteur Rds. **(0,25 pt)** Force au niveau du câble dans les conditions extrêmes : **Fc = 73 kN**. - **Q.13.** Calculer la puissance Pc au niveau du câble (kW). **(0,25 pt)** - **Q.14.** Calculer le rendement global ηg en mode normal. **(0,25 pt)** - **Q.15.** En déduire la puissance Pmp du moteur principal. **(0,25 pt)** - **Q.16.** Donner la référence du moteur adéquat. **(0,25 pt)** ## Situation d'évaluation n°3 (8,5 pts) **Dispositif de tension du câble** (D.Res 3) : vérin de tension, support de la roue réceptrice, bâti, chape de pied, groupe hydraulique. Solutions constructives : **1** composant standardisé pour guidage de très forte charge, adapté aux environnements difficiles, tolérant aux erreurs de parallélisme ; **2** bague de guidage en polymère ou bronze évitant le contact métal-métal entre pièces mobiles ; **3** composant standardisé s'accommodant de tous types de désalignement (bague intérieure à surface extérieure sphérique convexe dans une bague extérieure concave). - **Q.17.** Identifier les liaisons (nom et degrés de liberté) : tige du vérin/support de la roue réceptrice ; corps du vérin/bâti ; tige du vérin/corps du vérin ; support de la roue réceptrice/roue réceptrice ; support de la roue réceptrice/bâti. **(1,25 pt)** - **Q.18.** Relier les solutions constructives 1, 2 et 3 aux liaisons : tige/support de la roue ; tige/corps du vérin ; support de la roue/bâti. **(0,75 pt)** - **Q.19.** Compléter le dessin de la chape de pied en vue de droite en coupe A-A (sans formes cachées). **(1,5 pt)** **Régulation de la tension** (D.Res 4) : la tension du câble doit rester entre deux limites malgré la variation de longueur du câble (poids des passagers, température). Le câble et les cabines exercent sur la tige du vérin 1A une charge **FT** (traction, tige sortante). **Seuil de réajustement** : pression hors de l'intervalle [±5 % de P0] ; **seuil d'arrêt** : pression au-delà de ±10 % de P0. Surfaces : **S1 = 254,47 cm²** (chambre 1, côté fond) ; **S2 = 95,03 cm²** (chambre 2, côté tige). Circuit : 1E pompe + moteur M ; 1Q ; 1R ; 1F ; 1X et 1D à compléter ; 1Y vanne ; 1Z accumulateur hydropneumatique ; 1C distributeur 4/3 proportionnel (commandes électrique et manuelle) ; 1A vérin ; capteurs 1P, 2P (pression), 1S (force), LVDT, HP, BP. - **Q.20.** Nom et fonction de 1Q, 1R et 1F. **(0,75 pt)** - **Q.21.** Compléter le circuit : clapet anti-retour 1X ; clapet anti-retour avec ressort 1D ; conduites pour la sortie de la tige. **(1 pt)** - **Q.22.** Pourquoi la commande manuelle du distributeur 1C est-elle indispensable ? **(0,25 pt)** - **Q.23.** Vérifier que la pression initiale P0 dans la chambre convenable, générée par FT0 = 14 254,5 daN, est égale à 150 bars. **(0,25 pt)** - **Q.24.** En déduire Pmin et Pmax de réajustement. **(0,5 pt)** - **Q.25.** Le réajustement est-il nécessaire si FT atteint 15 015 daN ? Justifier. **(0,5 pt)** **Contrôleur** (D.Res 5) : capteur 1P linéaire 0-10 V pour 0-200 bars ; contrôleur : module A (signal de 1P → signal numérique), modules B et C, unité de traitement, module D (signal numérique image du courant → courant I de 0 à 1400 mA vers la bobine de 1C) ; diagramme de régulation linéaire entre 110 et 170 bars (pression régulée en fonction de la consigne de courant en % du maximum). - **Q.26.** Compléter l'actigramme du capteur 1P (nature, min et max des grandeurs d'entrée et de sortie). **(0,75 pt)** - **Q.27.** Nom et symbole des modules A et D. **(0,5 pt)** - **Q.28.** Déterminer la tension U image de P = 160 bars. **(0,25 pt)** - **Q.29.** Déterminer pour la même pression le courant I de commande du distributeur 1C. **(0,25 pt)**

## Corrigé proposé — Sciences de l'Ingénieur, Sciences Mathématiques B, session normale 2023 (NS 44) : Téléphérique > Corrigé proposé pour la révision, rédigé après lecture du sujet officiel. Les réponses graphiques sont décrites en texte ; les points incertains sont marqués ⚠️. --- ## Situation d'évaluation n°1 Leçons requises : analyse fonctionnelle (bête à cornes, pieuvre, FAST), chaîne fonctionnelle (chaîne d'information et chaîne d'énergie). **Q.01. Bête à cornes** - **À qui rend-il service ?** Aux **passagers** (usagers : touristes, habitants). - **Sur quoi agit-il ?** Sur les **passagers**, transportés dans les cabines. - **Dans quel but ?** **Transporter les passagers d'une station à une autre**, avec un changement d'altitude important, dans des zones à accès difficile. **Q.02. Fonctions contraintes** ⚠️ (formulations possibles) - **Éléments à placer :** Passagers ; Cabines (ou station amont et station aval). - **FC3 :** résister aux agressions extérieures (vent, pluie, neige, variations de température). - **FC4 :** faciliter la maintenance (accessibilité des organes). - **FC5 :** respecter l'environnement (bruit, paysage, pollution). **Q.03. FAST de FP1** - **FT1 :** entraîner le câble tracteur (et donc les cabines) à vitesse constante. - **FT2 :** entraîner les cabines à vitesse réduite dans les stations (embarquement et débarquement). - **FT3 :** maintenir (réguler) la tension du câble. - **FT4 :** freiner (arrêter) le système. - **FT5 :** gérer et contrôler le fonctionnement de l'installation. **Q.04. Chaîne fonctionnelle** - **Chaîne d'information :** - **Acquérir :** capteurs, plus les dynamos tachymétriques DT1 et DT2 et les capteurs optiques. - **Traiter :** **automates programmables (API)**. - **Communiquer :** signalisations et **écran tactile**. - **Chaîne d'énergie en mode normal :** - **Alimenter :** réseau électrique. - **Distribuer :** variateur de vitesse. - **Convertir :** **moteur principal** (moteur asynchrone). - **Transmettre :** **poulies-courroies et réducteur principal**. - **Chaîne d'énergie en mode de secours :** - **Alimenter :** réservoir de carburant. - **Distribuer :** système d'injection. - **Convertir :** moteur thermique de secours. - **Transmettre :** **arbre à cardans, coupleur, réducteur de secours, embrayage**, puis poulies-courroies et Rdp. - **Chaîne d'énergie du dispositif de tension :** - **Alimenter :** **groupe hydraulique** (pompe et accumulateur). - **Distribuer :** distributeur 1C. - **Convertir :** **vérin hydraulique 1A**. - **Transmettre :** **support de la roue réceptrice** (roue réceptrice), qui assure la tension du câble. --- ## Situation d'évaluation n°2 Leçons requises : transmission de puissance (réducteurs, poulies-courroies, embrayage, cardans), rapport de transmission, rendement, puissance et choix des composants. **Q.05.** | Organe | Nom | Fonction | |---|---|---| | OT 1 | Réducteur principal Rdp | Réduire la vitesse de rotation et augmenter le couple transmis à la roue motrice | | OT 2 | Système poulies-courroies | Transmettre la puissance entre deux arbres parallèles éloignés, avec réduction de vitesse (de/ds) | **Q.06. OT3 :** **embrayage électromagnétique** (accouplement temporaire commandé). - **Rôle :** il est embrayé en mode de secours et débrayé en mode normal. - **Symbole :** deux plateaux en vis-à-vis sur deux arbres coaxiaux, avec la commande électromagnétique. **Q.07. Actigramme de OT6** (**arbre de transmission à double joint de cardan**) - **Fonction :** transmettre le mouvement de rotation entre deux arbres **non alignés** (désalignement angulaire ou décalage). - **Entrée :** énergie mécanique de rotation fournie par le moteur thermique de secours (Nms). - **Sortie :** énergie mécanique de rotation transmise au coupleur (OT5). - **Données de contrôle :** mode de secours activé. - **Support :** arbre à cardans. **Q.08. Expression de Vc** - **Vitesse de la roue motrice :** $N_r = N_{mp}.\dfrac{d_e}{d_s}.k_p$. - **Vitesse du câble :** $$V_c = \frac{\pi.d_r.N_r}{60} = \frac{\pi.d_r.N_{mp}.d_e.k_p}{60.d_s}$$ **Q.09. Vitesse du moteur principal** $$N_{mp} = \frac{60.V_c.d_s}{\pi.d_r.d_e.k_p} = \frac{60 \times 4{,}7 \times 240}{\pi \times 2{,}7 \times 134 \times \frac{1}{50}} \approx 2977{,}23\ \text{tr/min}$$ (Cette valeur est cohérente avec un moteur 2 pôles, autour de 2975 tr/min.) **Q.10. Expression de Vc'** (OT6, OT5 et OT3 ne modifient pas la vitesse) $$V_c' = \frac{\pi.d_r.N_{ms}.k_s.d_e.k_p}{60.d_s}$$ **Q.11. Rapport du réducteur de secours** - **Condition :** $V_c' = \dfrac{V_c}{4}$. - **Calcul :** $$k_s = \frac{N_{mp}}{4.N_{ms}} = \frac{2977{,}23}{4 \times 2100} \approx 0{,}35$$ **Q.12. Choix du réducteur Rds** - **Rapport :** le rapport 0,35 correspond aux types TH1HC1-1 et TH1HC1-2. - **Puissance :** la puissance maximale à l'entrée doit être ≥ Pus = 537 kW. Les deux conviennent (750 et 560 kW). - **Choix :** **TH1HC1-2**, le moins lourd et le moins encombrant (405 kg). ⚠️ Le choix de TH1HC1-1 est aussi défendable, avec une marge de sécurité plus large. **Q.13. Puissance au niveau du câble** $$P_c = F_c.V_c = 73 \times 4{,}7 = 343{,}1\ \text{kW}$$ **Q.14. Rendement global (mode normal)** $$\eta_g = \eta_1.\eta_2.\eta_{rc} = 0{,}9 \times 0{,}9 \times 1 = 0{,}81$$ **Q.15. Puissance du moteur principal** $$P_{mp} = \frac{P_c}{\eta_g} = \frac{343{,}1}{0{,}81} = 423{,}58\ \text{kW}$$ **Q.16. Choix du moteur :** **PLS 315 VLG** (450 kW ≥ 423,58 kW ; 2975 tr/min, compatible avec Nmp ≈ 2977 tr/min). --- ## Situation d'évaluation n°3 Leçons requises : liaisons mécaniques et solutions constructives (guidages, rotules), dessin technique (coupe), hydraulique (composants, pression), chaîne d'information (capteurs, CAN/CNA). **Q.17. Liaisons** (x : axe du vérin, direction de déplacement du support de la roue) ⚠️ (orientation des axes à adapter au schéma) | Liaison | Nom | Tx | Ty | Tz | Rx | Ry | Rz | |---|---|---|---|---|---|---|---| | Tige du vérin / support de la roue | Rotule (sphérique) | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | Corps du vérin / bâti (chape de pied) | Pivot (ou rotule) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | Tige du vérin / corps du vérin | Pivot glissant d'axe x | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | Support de la roue / roue réceptrice | Pivot (axe de la roue) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | Support de la roue / bâti | Glissière d'axe x | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | **Q.18. Solutions constructives** - **Tige / support de la roue réceptrice ↔ solution 3 :** rotule lisse (embout à rotule), qui accepte les désalignements. - **Tige / corps du vérin ↔ solution 2 :** bague de guidage, qui assure le guidage en pivot glissant sans contact métal-métal. - **Support de la roue / bâti ↔ solution 1 :** guidage linéaire à forte charge (patins sur rails), qui réalise la glissière. **Q.19. Dessin de la chape de pied (vue de droite en coupe A-A)** - **Section et projection :** les parties coupées par le plan A-A sont hachurées (traits fins inclinés à 45°, même sens pour une même pièce). Au-delà du plan de coupe, on représente les contours vus : flasques de la chape, perçage de l'axe d'articulation, semelle de fixation. - **Exclusions :** pas de formes cachées. - **Conventions :** les trous sont représentés avec leurs axes en trait mixte fin, et les arêtes vues en trait fort. **Q.20. Composants hydrauliques** | Composant | Nom | Fonction | |---|---|---| | 1Q | Limiteur de pression (soupape de sûreté) | Protéger l'installation contre les surpressions (limiter la pression maximale) | | 1R | Manomètre | Indiquer (mesurer) la pression dans le circuit | | 1F | Filtre | Filtrer l'huile de retour (retenir les impuretés) | **Q.21. Compléter le circuit** - **1X : clapet anti-retour** placé à la sortie de la pompe 1E. Il empêche le retour de l'huile vers la pompe (et la décharge de l'accumulateur dans la pompe à l'arrêt). - **1D : clapet anti-retour taré (avec ressort)** placé en dérivation, entre la ligne de pression et le retour (by-pass). Il s'ouvre à une pression de tarage. - **Conduites :** le distributeur 1C (orifices A et B) est relié aux deux chambres du vérin 1A. En position de sortie de tige, P est relié à la chambre 1 (côté fond) et la chambre 2 au retour T. **Q.22. Commande manuelle de 1C :** elle est indispensable pour pouvoir **manœuvrer le vérin** (régler la tension du câble) **en cas de panne d'électricité** ou de défaillance de la commande électrique. L'accumulateur 1Z fournit alors l'énergie hydraulique. **Q.23. Pression initiale** - **Chambre concernée :** la charge FT tire la tige, donc la pression qui équilibre FT agit dans la **chambre 2** (côté tige, surface S2). - **Calcul :** $$P_0 = \frac{F_{T0}}{S_2} = \frac{142\,545\ \text{N}}{95{,}03.10^{-4}\ \text{m}^2} = 150.10^5\ \text{Pa} = 150\ \text{bars}$$ **Q.24. Seuils de réajustement (±5 %)** $$P_{min} = 0{,}95 \times 150 = 142{,}5\ \text{bars} \quad ; \quad P_{max} = 1{,}05 \times 150 = 157{,}5\ \text{bars}$$ **Q.25. Charge FT = 15 015 daN** $$P = \frac{150\,150}{95{,}03.10^{-4}} = 158{,}0\ \text{bars}$$ - **Réajustement :** **oui**, il est nécessaire, car P = 158 bars > Pmax = 157,5 bars. - **Arrêt :** pas d'arrêt du système, car P reste inférieure au seuil d'arrêt 1,10 × 150 = 165 bars. **Q.26. Actigramme du capteur 1P (fonction : acquérir)** - **Grandeur d'entrée :** pression hydraulique (grandeur physique) ; min = 0 bar, max = 200 bars. - **Grandeur de sortie :** tension électrique **analogique** ; min = 0 V, max = 10 V. **Q.27. Modules A et D** - **Module A :** **convertisseur analogique-numérique (CAN)**. Symbole : rectangle avec une diagonale, l'entrée marquée « # / ∩ » ou « A/N ». - **Module D :** **convertisseur numérique-analogique (CNA)**, avec la notation « N/A ». **Q.28. Tension pour P = 160 bars** $$U = \frac{10}{200} \times 160 = 8\ \text{V}$$ **Q.29. Courant de commande pour P = 160 bars** - **Lecture du diagramme :** la droite de régulation (110 à 170 bars) donne P = 160 bars pour environ **80 %** du courant maximal. ⚠️ Lecture graphique. - **Calcul :** $$I = 0{,}80 \times 1400 = 1120\ \text{mA}$$ --- > **Avertissement :** corrigé proposé pour la révision, ce n'est pas un corrigé officiel. Vérifiez avec les leçons citées et les éléments de réponse officiels du Centre National de l'Évaluation et des Examens.