الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا 2023 - الدورة العادية - الفيزياء والكيمياء - مسلك العلوم الفيزيائية خيار فرنسية BIOF

### Examen national du baccalauréat — Session normale 2023 — Sujet **Matière :** Physique-Chimie — **Filière :** Sciences Expérimentales, option Sciences Physiques (option française) — **Code :** NS 28F **Durée :** 3 h — **Coefficient :** 7 - L'usage de la calculatrice scientifique non programmable est autorisé. - On donnera les expressions littérales avant de passer aux applications numériques. Le sujet comporte quatre exercices : **Exercice 1 (7 pts)** réactions de l'acide éthanoïque ; **Exercice 2 (2,5 pts)** transformations nucléaires du tritium ; **Exercice 3 (5 pts)** dipôle RL, circuit LC, modulation d'amplitude ; **Exercice 4 (5,5 pts)** chute d'une balle, mouvement d'une balançoire. > Les figures et courbes se trouvent dans le sujet officiel ; les valeurs lues sont indiquées entre parenthèses. --- ### Exercice 1 (7 points) On étudie la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau, avec une solution de méthanoate de sodium et avec le méthanol. **1- Solution aqueuse d'acide éthanoïque.** On prépare une solution $S_A$ d'acide éthanoïque $\text{CH}_3\text{COOH}$ de concentration $C_A = 5\cdot10^{-2}\ \text{mol.L}^{-1}$ ; son pH est $3{,}05$. - **1.1-** Écrire l'équation de la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau. **(0,5 pt)** - **1.2-** On définit la proportion de l'espèce $\text{CH}_3\text{COOH}$ à l'équilibre : $\alpha(\text{CH}_3\text{COOH}) = \dfrac{[\text{CH}_3\text{COOH}]_{éq}}{[\text{CH}_3\text{COOH}]_{éq} + [\text{CH}_3\text{COO}^-]_{éq}}$. Montrer que $\alpha = 1 - \tau$ ($\tau$ : taux d'avancement final) ; calculer $\alpha$. **(0,75 pt)** - **1.3-** Montrer que $\text{p}K_{A1} = \text{p}K_A(\text{CH}_3\text{COOH}/\text{CH}_3\text{COO}^-) \simeq 4{,}79$. **(0,5 pt)** **2- Réaction de l'acide éthanoïque avec l'ion méthanoate.** On mélange un volume $V_1$ de $S_A$ avec $V_2 = V_1$ d'une solution $S_B$ de méthanoate de sodium de concentration $C_B = C_A$. - **2.1-** Écrire l'équation de la réaction. **(0,75 pt)** - **2.2-** Exprimer $Q_{r,éq}$ en fonction de $K_{A1}$ et $K_{A2}$ ; le calculer sachant que $\text{p}K_{A2} = \text{p}K_A(\text{HCOOH}/\text{HCOO}^-) = 3{,}75$. **(0,75 pt)** - **2.3-** Exprimer le pH du mélange en fonction de $\text{p}K_{A1}$ et $\text{p}K_{A2}$ ; le calculer. **(0,5 pt)** **3- Réaction de l'acide éthanoïque avec le méthanol.** Deux mélanges équimolaires : $n_0(\text{CH}_3\text{COOH}) = n_0(\text{CH}_3\text{OH}) = 0{,}9\ \text{mol}$, à la même température ; l'un avec catalyseur. Courbes $C_1$ et $C_2$ de $n_a$ (acide) en fonction du temps ($n_a$ part de 0,9 mol et tend vers 0,3 mol pour les deux ; $C_1$ atteint cette valeur plus vite). - **3.1-** Écrire l'équation de la réaction (formules semi-développées). **(0,5 pt)** - **3.2-** Identifier, en justifiant, la courbe correspondant au catalyseur. **(0,5 pt)** - **3.3-** Déterminer la composition du mélange à l'équilibre. **(0,5 pt)** - **3.4-** Déterminer $t_{1/2}$ pour la courbe $C_2$. **(0,5 pt)** - **3.5-** Calculer le rendement de la transformation. **(0,75 pt)** - **3.6-** À l'équilibre, on ajoute $n = 0{,}1\ \text{mol}$ d'acide éthanoïque. Sachant que $K = 4$, déterminer le nouveau rendement. **(0,5 pt)** --- ### Exercice 2 (2,5 points) — Le tritium Données : $M(^3_1\text{H}) = 3\ \text{g.mol}^{-1}$ ; $N_A = 6{,}02\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ ; $t_{1/2} = 12{,}32$ ans ; 1 an $= 3{,}16\cdot10^7$ s ; énergies de liaison : $^4_2\text{He}$ : 28,296 MeV ; $^3_1\text{H}$ : 8,475 MeV ; $^2_1\text{H}$ : 2,366 MeV. **1- Désintégration du tritium** (radioactif $\beta^-$, donne un isotope de l'hélium). - **1.1-** Choisir la proposition juste : a) le nombre de masse de $^3_2\text{He}$ est 5 ; b) la radioactivité $\beta^-$ caractérise les noyaux très lourds ; c) au bout de $2t_{1/2}$, les noyaux désintégrés représentent 25 % des noyaux initiaux ; d) la masse d'un noyau est égale à la somme des masses de ses nucléons ; e) lors d'une fission nucléaire, de la masse se transforme en énergie. **(0,5 pt)** - **1.2-** Écrire l'équation de désintégration du tritium. **(0,25 pt)** - **1.3-** Établir la relation entre $t_{1/2}$ et $\lambda$. **(0,25 pt)** - **1.4-** À $t_0 = 0$, échantillon de masse $m_0 = 2\ \mu\text{g}$. Calculer l'activité $a_1$ lorsque 90 % des noyaux se sont désintégrés. **(0,5 pt)** **2- Fusion du tritium et du deutérium** (donne $^4_2\text{He}$ et un neutron). - **2.1-** Vrai ou faux (justifier) : a) l'énergie à fournir à un noyau de tritium au repos pour séparer ses nucléons au repos est 8,475 MeV **(0,25 pt)** ; b) le tritium est plus stable que le deutérium **(0,25 pt)**. - **2.2-** Calculer l'énergie libérée $E_{lib} = |\Delta E|$ par la fusion d'un noyau de deutérium et d'un noyau de tritium. **(0,5 pt)** --- ### Exercice 3 (5 points) **1- Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension.** Générateur $E = 24\ \text{V}$, conducteur ohmique R, bobine (b) d'inductance L et de résistance négligeable, interrupteur K fermé à $t_0 = 0$. Courbe de $i(t)$ (i tend vers 48 mA ; la tangente (T) à l'origine coupe l'asymptote à $t = 2\ \text{ms}$). - **1.1-** Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$. **(0,25 pt)** - **1.2-** $i(t) = A + B\,e^{-t/\tau}$. **1.2.1-** Exprimer A et B en fonction de E et R. **(0,5 pt)** **1.2.2-** Montrer que $L = 1\ \text{H}$. **(0,5 pt)** - **1.3-** Donner l'expression numérique (SI) de $u_L(t)$ durant l'établissement du courant. **(0,5 pt)** **2- Circuit LC.** La bobine (b) est associée à un condensateur de capacité C, chargé sous la tension $E_0$. - **2.1-** Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$. **(0,25 pt)** - **2.2-** Courbe de $u_C(t)$ (oscillations sinusoïdales d'amplitude 10 V, de période 2 ms, $u_C(0) = 10\ \text{V}$). **2.2.1-** Calculer C ($\pi^2 = 10$). **(0,5 pt)** **2.2.2-** Calculer l'énergie magnétique $E_m$ dans la bobine à $t = 1{,}8\ \text{ms}$. **(0,75 pt)** **3- Modulation d'amplitude.** $u(t) = A\big(1 + m\cos(2\pi f_s t)\big)\cos(2\pi f_p t)$ (amplitude maximale 6 V, minimale 2 V ; période de l'enveloppe ≈ 5 ms ; période de la porteuse 0,25 ms). - **3.1-** Proposition juste : a) $f_s = 4\ \text{kHz}$ ; b) $f_p = 4\ \text{kHz}$ ; c) $f_s = 100\ \text{Hz}$ ; d) $f_p = 200\ \text{Hz}$. **(0,5 pt)** - **3.2-** Vrai ou faux (justifier) : a) $m = 0{,}4$ **(0,5 pt)** ; b) la composante continue vaut $U_0 = 2\ \text{V}$ **(0,25 pt)**. - **3.3-** Représenter l'allure du spectre de fréquences de $u(t)$. **(0,5 pt)** --- ### Exercice 4 (5,5 points) — Les deux parties sont indépendantes **Partie I : chute d'une balle.** Balle (S) de masse $m = 80\ \text{g}$ lancée verticalement vers le haut depuis O à $t_0 = 0$ avec $V_0 = 12\ \text{m.s}^{-1}$ ; repère $(O, \vec{k})$ vers le haut ; $g = 10\ \text{m.s}^{-2}$. **1- Chute libre.** - **1.1-** Par la 2ᵉ loi de Newton, déterminer les équations horaires numériques $v_z(t)$ et $z(t)$. **(0,75 pt)** - **1.2.1-** Déterminer la hauteur maximale h atteinte par G. **(0,5 pt)** - **1.2.2-** Déterminer la valeur algébrique $v_{0z}$ de la vitesse de G lors de son passage par O vers le bas. **(0,5 pt)** **2- Chute avec frottement** (nouvelle origine des dates au passage par O vers le bas) : force $\vec{f} = -\lambda\vec{v}$, $\lambda = 0{,}12\ \text{S.I}$ (poussée d'Archimède négligée). - **2.1-** Montrer que $\dfrac{dv_z}{dt} + \dfrac{1}{\tau}v_z + g = 0$. **(0,5 pt)** - **2.2-** En déduire la norme de la vitesse limite. **(0,25 pt)** - **2.3-** Par la méthode d'Euler, déterminer $v_z(t_i)$ sachant que $a_{i-1} = 5\ \text{m.s}^{-2}$ et $\Delta t = 66\ \text{ms}$. **(0,75 pt)** **Partie II : balançoire.** Pendule pesant (S) de masse m, de centre d'inertie G, suspendu en O par une tige de masse négligeable et de longueur $\ell = 2{,}4\ \text{m}$ ; $J_\Delta = m\ell^2$ ; écarté de $\theta_0 = 9°$ et lâché sans vitesse à $t_0 = 0$ ; frottements négligés ; $E_{pp} = 0$ au plan horizontal passant par $G_0$ ; petites oscillations : $\cos\theta \simeq 1 - \frac{\theta^2}{2}$. - **1-** Montrer que $E_{pp} = \frac{1}{2}mg\ell\theta^2$. **(0,5 pt)** - **2.1-** Par conservation de l'énergie mécanique, déterminer la vitesse angulaire maximale $\dot{\theta}_{max}$. **(0,5 pt)** - **2.2-** Établir l'équation différentielle vérifiée par $\theta(t)$. **(0,75 pt)** - **3-** Calculer la période propre de ce pendule (identique à un pendule simple de longueur $\ell$). **(0,5 pt)**

## Corrigé proposé — Physique-Chimie, Sciences Physiques (BIOF), session normale 2023 (NS 28F) > Corrigé proposé pour la révision (version française du sujet NS 28). Les valeurs lues sur les courbes sont approximatives. --- ### Exercice 1 — Acide éthanoïque Leçons requises : réactions acido-basiques, état d'équilibre et quotient de réaction, estérification-hydrolyse. **1.1-** $$\text{CH}_3\text{COOH}_{(aq)} + \text{H}_2\text{O}_{(\ell)} \rightleftharpoons \text{CH}_3\text{COO}^-_{(aq)} + \text{H}_3\text{O}^+_{(aq)}$$ **1.2-** - **Concentrations à l'équilibre :** $[\text{CH}_3\text{COO}^-] = \dfrac{x_{éq}}{V}$ et $[\text{CH}_3\text{COOH}] = C_A - \dfrac{x_{éq}}{V}$. Leur somme vaut $C_A$. - **Démonstration :** $$\alpha = \dfrac{C_A - x_{éq}/V}{C_A} = 1 - \dfrac{x_{éq}}{C_AV} = 1 - \tau$$ - **Calcul :** $\tau = \dfrac{10^{-3{,}05}}{5\cdot10^{-2}} \approx 1{,}78\cdot10^{-2}$, d'où **α ≈ 0,982** (98,2 %). **1.3-** $$\text{p}K_{A1} = \text{pH} - \log\dfrac{\tau}{1 - \tau} = 3{,}05 - \log\dfrac{0{,}0178}{0{,}982} \approx 4{,}79$$ **2.1-** $$\text{CH}_3\text{COOH} + \text{HCOO}^- \rightleftharpoons \text{CH}_3\text{COO}^- + \text{HCOOH}$$ **2.2-** $$Q_{r,éq} = \dfrac{K_{A1}}{K_{A2}} = 10^{\text{p}K_{A2} - \text{p}K_{A1}} = 10^{3{,}75 - 4{,}79} \approx 9{,}1\cdot10^{-2}$$ **2.3-** - **Égalité des concentrations :** les quantités initiales sont égales, donc $[\text{CH}_3\text{COO}^-] = [\text{HCOOH}]$ et $[\text{CH}_3\text{COOH}] = [\text{HCOO}^-]$. - **Calcul :** en additionnant les deux relations $\text{pH} = \text{p}K_A + \log\frac{[A^-]}{[AH]}$, les termes logarithmiques s'annulent : $$\text{pH} = \dfrac{\text{p}K_{A1} + \text{p}K_{A2}}{2} = 4{,}27$$ **3.1-** $$\text{CH}_3\text{–COOH} + \text{CH}_3\text{–OH} \rightleftharpoons \text{CH}_3\text{–COO–CH}_3 + \text{H}_2\text{O}$$ **3.2-** C'est la courbe **$C_1$**. Le catalyseur accélère la réaction sans modifier l'état d'équilibre : on atteint le même état final (0,3 mol) plus vite. **3.3-** - **Avancement :** $x_{éq} = 0{,}9 - 0{,}3 = 0{,}6\ \text{mol}$. - **Composition :** 0,3 mol d'acide ; 0,3 mol d'alcool ; 0,6 mol d'ester ; 0,6 mol d'eau. **3.4-** À $t_{1/2}$, $x = 0{,}3$ mol, soit $n_a = 0{,}6$ mol. On lit sur $C_2$ : **$t_{1/2} \approx 3{,}5$ h**. **3.5-** $$r = \dfrac{0{,}6}{0{,}9} \approx 66{,}7\ \%$$ **3.6-** - **Équation d'équilibre :** avec un avancement supplémentaire y : $$K = \dfrac{(0{,}6 + y)^2}{(0{,}4 - y)(0{,}3 - y)} = 4 \iff 3y^2 - 4y + 0{,}12 = 0$$ - **Solution :** $y \approx 0{,}031$ mol. - **Nouveau rendement :** le réactif limitant est le méthanol (0,9 mol), d'où $$r' = \dfrac{0{,}631}{0{,}9} \approx 70\ \%$$ L'excès d'un réactif augmente le rendement. --- ### Exercice 2 — Tritium Leçons requises : décroissance radioactive, noyaux, masse et énergie. **1.1-** Proposition juste : **e)**. - a) Faux : A = 3. - b) Faux : β⁻ concerne les noyaux riches en neutrons. - c) Faux : il reste 25 %, donc 75 % sont désintégrés. - d) Faux : la masse du noyau est inférieure à la somme des masses de ses nucléons (défaut de masse). **1.2-** $$^3_1\text{H} \to\ ^3_2\text{He} +\ ^{\ 0}_{-1}\text{e}$$ **1.3-** On a $N = N_0e^{-\lambda t}$. À $t_{1/2}$, $N = N_0/2$, d'où $$t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$$ **1.4-** - **Nombre initial de noyaux :** $N_0 = \dfrac{m_0}{M}N_A = \dfrac{2\cdot10^{-6}}{3} \times 6{,}02\cdot10^{23} \approx 4{,}01\cdot10^{17}$. - **Noyaux restants :** $N_1 = 0{,}1\,N_0$. - **Constante radioactive :** $\lambda = \dfrac{\ln 2}{12{,}32 \times 3{,}16\cdot10^7} \approx 1{,}78\cdot10^{-9}\ \text{s}^{-1}$. - **Activité :** $$a_1 = \lambda N_1 \approx 7{,}15\cdot10^7\ \text{Bq}$$ **2.1-** - a) **Vrai** : c'est la définition de l'énergie de liaison, $E_\ell(^3\text{H}) = 8{,}475$ MeV. - b) **Vrai** : l'énergie de liaison par nucléon est plus grande pour le tritium, $\frac{8{,}475}{3} \approx 2{,}83$ MeV/nucléon, contre $\frac{2{,}366}{2} \approx 1{,}18$ MeV/nucléon pour le deutérium. **2.2-** - **Équation :** $^2_1\text{H} +\ ^3_1\text{H} \to\ ^4_2\text{He} +\ ^1_0\text{n}$. - **Énergie libérée :** $$E_{lib} = 28{,}296 - 8{,}475 - 2{,}366 \approx 17{,}46\ \text{MeV}$$ --- ### Exercice 3 — Électricité Leçons requises : dipôle RL, oscillations libres dans un circuit LC, modulation d'amplitude. **1.1-** Loi d'additivité des tensions : $$E = Ri + L\dfrac{di}{dt} \Rightarrow \dfrac{di}{dt} + \dfrac{R}{L}i = \dfrac{E}{L}$$ **1.2.1-** - **Par substitution :** $A = \dfrac{E}{R}$ et $\tau = \dfrac{L}{R}$. - **Condition initiale :** $i(0) = 0$, d'où $B = -\dfrac{E}{R}$. **1.2.2-** - **Résistance :** $\dfrac{E}{R} = 48\ \text{mA}$, d'où $R = 500\ \Omega$. - **Inductance :** la tangente à l'origine donne $\tau = 2$ ms, d'où $L = R\tau = 1\ \text{H}$. **1.3-** $$u_L = L\dfrac{di}{dt} = E\,e^{-t/\tau} = 24\,e^{-500t}\ \ (\text{V})$$ **2.1-** On a $u_C + L\dfrac{di}{dt} = 0$ avec $i = C\dfrac{du_C}{dt}$, d'où $$\dfrac{d^2u_C}{dt^2} + \dfrac{1}{LC}u_C = 0$$ **2.2.1-** On a $T_0 = 2$ ms, d'où $$C = \dfrac{T_0^2}{4\pi^2L} = \dfrac{4\cdot10^{-6}}{40} = 10^{-7}\ \text{F} = 0{,}1\ \mu\text{F}$$ **2.2.2-** - **Tension à t = 1,8 ms :** $u_C = 10\cos(1{,}8\pi) \approx 8{,}1$ V. - **Énergie magnétique (conservation de l'énergie) :** $$E_m = \frac{1}{2}C(U_m^2 - u_C^2) \approx \frac{1}{2} \times 10^{-7} \times (100 - 65{,}4) \approx 1{,}7\ \text{à}\ 1{,}8\ \mu\text{J}$$ **3.1-** Proposition juste : **b)**. - Porteuse : $T_p = 0{,}25$ ms, donc $f_p = 4$ kHz. - Signal modulant : $T_s = 5$ ms, donc $f_s = 200$ Hz. **3.2-** - a) **Faux** : $$m = \dfrac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}} = \dfrac{6 - 2}{6 + 2} = 0{,}5$$ - b) **Faux** : l'amplitude oscille autour de $A = \frac{6 + 2}{2} = 4$ V. ⚠️ À vérifier selon la définition de la composante continue utilisée en classe (montage multiplieur). **3.3- Spectre :** trois raies. | Fréquence | Amplitude | |---|---| | $f_p - f_s = 3{,}8$ kHz | $\frac{mA}{2} = 1$ V | | $f_p = 4$ kHz | $A = 4$ V | | $f_p + f_s = 4{,}2$ kHz | 1 V | --- ### Exercice 4 — Mécanique Leçons requises : lois de Newton, chute verticale (libre et avec frottement), méthode d'Euler, pendule pesant et énergie. **Partie I** **1.1-** La seule force est le poids, donc $a_z = -g$. D'où $$v_z = -10t + 12 \quad ; \quad z = -5t^2 + 12t$$ **1.2.1-** On a $v_z = 0$ à $t = 1{,}2$ s, d'où **h = 7,2 m**. **1.2.2-** On a $z = 0$ à $t = 2{,}4$ s, d'où **$v_{0z} = -12\ \text{m.s}^{-1}$**. **2.1-** $$m\dfrac{dv_z}{dt} = -mg - \lambda v_z \Rightarrow \dfrac{dv_z}{dt} + \dfrac{\lambda}{m}v_z + g = 0 \quad \text{avec} \quad \tau = \dfrac{m}{\lambda} \approx 0{,}67\ \text{s}$$ **2.2-** $$|v_\ell| = \dfrac{mg}{\lambda} = \dfrac{0{,}8}{0{,}12} \approx 6{,}67\ \text{m.s}^{-1}$$ **2.3-** - **Vitesse à $t_{i-1}$ :** $v_{i-1} = -\tau(a_{i-1} + g) = -\frac{2}{3} \times 15 = -10\ \text{m.s}^{-1}$. - **Méthode d'Euler :** $$v_i = v_{i-1} + a_{i-1}\Delta t = -10 + 5 \times 0{,}066 \approx -9{,}67\ \text{m.s}^{-1}$$ **Partie II** **1-** $$z_G = \ell(1 - \cos\theta) \simeq \ell\dfrac{\theta^2}{2} \Rightarrow E_{pp} = \frac{1}{2}mg\ell\theta^2$$ **2.1-** Par conservation de l'énergie mécanique, $\frac{1}{2}mg\ell\theta_0^2 = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}_{max}^2$, d'où $$\dot{\theta}_{max} = \theta_0\sqrt{\dfrac{g}{\ell}} = \dfrac{9\pi}{180}\sqrt{\dfrac{10}{2{,}4}} \approx 0{,}32\ \text{rad.s}^{-1}$$ **2.2-** On a $\dfrac{dE_m}{dt} = 0$, d'où $$\ddot{\theta} + \dfrac{g}{\ell}\theta = 0$$ **3-** $$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}} = 2\pi\sqrt{0{,}24} \approx 3{,}08\ \text{s}$$ --- > **Avertissement :** corrigé proposé pour la révision, ce n'est pas un corrigé officiel. Vérifiez avec les leçons citées et les éléments de réponse officiels du Centre National de l'Évaluation et des Examens.