الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا 2023 - الدورة العادية - الفيزياء والكيمياء - العلوم الرياضية (أ) و (ب) خيار فرنسية BIOF

### Examen national du baccalauréat — Session normale 2023 — Sujet **Matière :** Physique-Chimie — **Filière :** Sciences Mathématiques A et B (option française) — **Code :** NS 30F **Durée :** 4 h — **Coefficient :** 7 - L'usage de la calculatrice scientifique non programmable est autorisé. - La formule littérale doit être donnée avant l'application numérique et le résultat accompagné de son unité. - Les exercices peuvent être traités séparément selon le choix du candidat(e). Le sujet comporte quatre exercices : un exercice de chimie et trois exercices de physique. --- ## Exercice 1 : Chimie (7 points) *Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.* ### Partie 1 : Vérification de la masse de l'acide propanoïque dans un médicament L'acide propanoïque $\text{C}_2\text{H}_5\text{COOH}$ est un liquide que l'on prépare au laboratoire. Il est utilisé comme agent conservateur et entre dans la composition de certains médicaments et dans la synthèse de certains arômes. Cette partie consiste à vérifier, par dosage, la masse de l'acide propanoïque dans un médicament. **Données :** - Le produit ionique de l'eau : $K_e = 10^{-14}$ à 25 °C ; - La masse molaire de l'acide propanoïque : $M(\text{C}_2\text{H}_5\text{COOH}) = 74\ \text{g.mol}^{-1}$. Le médicament étudié est une solution aqueuse notée (S). Son étiquette descriptive indique la présence de $46{,}2\ \text{mg}$ d'acide propanoïque dans un volume $V = 40\ \text{mL}$ de cette solution. Pour vérifier cette indication, on prépare, à 25 °C, une solution $(S_A)$ en introduisant dans un bécher un volume $V_A = 10\ \text{mL}$ de la solution (S) auquel on ajoute $V_e = 50\ \text{mL}$ d'eau distillée. On dose l'acide propanoïque présent dans $(S_A)$ à l'aide d'une solution aqueuse $(S_B)$ d'hydroxyde de sodium $\text{Na}^+_{(aq)} + \text{HO}^-_{(aq)}$ de concentration molaire $C_B = 2{,}0.10^{-2}\ \text{mol.L}^{-1}$. Après l'ajout d'un volume $V_{B1} = 3{,}9\ \text{mL}$ de la solution d'hydroxyde de sodium au mélange, la mesure du pH du mélange réactionnel donne la valeur $\text{pH}_1 = 4{,}86$. À l'équivalence, le volume de la solution d'hydroxyde de sodium ajouté est $V_{BE} = 7{,}8\ \text{mL}$. 1. Écrire l'équation modélisant la réaction qui a lieu lors du dosage. **(0,25 pt)** 2. Expliquer pourquoi l'ajout du volume $V_e$ d'eau distillée n'influe pas sur la valeur du volume de la solution d'hydroxyde de sodium ajouté à l'équivalence. **(0,5 pt)** 3. En se basant sur le tableau d'avancement de la réaction du dosage, trouver l'expression du taux d'avancement final de la réaction avant l'équivalence en fonction du pH du milieu réactionnel, $K_e$, $C_B$, $V_A$, $V_e$ et $V_B$ le volume de la solution d'hydroxyde de sodium ajouté. Calculer sa valeur après l'ajout de $V_{B1}$ et conclure. **(0,75 pt)** 4. Calculer, après l'ajout du volume $V_B = V_{B1}$, les concentrations $[\text{C}_2\text{H}_5\text{COOH}]$ et $[\text{C}_2\text{H}_5\text{COO}^-]$. Déduire la valeur du $\text{p}K_A(\text{C}_2\text{H}_5\text{COOH}/\text{C}_2\text{H}_5\text{COO}^-)$. **(0,75 pt)** 5. Justifier la nature basique du mélange réactionnel à l'équivalence. **(0,5 pt)** 6. Calculer le pH de la solution (S). **(0,75 pt)** 7. Vérifier que la masse de l'acide propanoïque est celle indiquée sur l'étiquette. **(0,5 pt)** ### Partie 2 : Étude de la pile plomb–étain Les piles électrochimiques sont l'une des applications des réactions d'oxydo-réduction. Au cours de leur fonctionnement, une partie de l'énergie chimique se transforme en énergie électrique. On réalise, à 25 °C, la pile plomb–étain en plongeant une plaque de plomb dans un bécher contenant un volume $V_1 = 30\ \text{mL}$ d'une solution aqueuse de nitrate de plomb $\text{Pb}^{2+}_{(aq)} + 2\text{NO}^-_{3(aq)}$ de concentration molaire initiale $C_1 = [\text{Pb}^{2+}]_0$ et en plongeant une plaque d'étain dans un autre bécher contenant un volume $V_2 = V_1$ d'une solution aqueuse de chlorure d'étain II $\text{Sn}^{2+}_{(aq)} + 2\text{Cl}^-_{(aq)}$ de concentration molaire initiale $C_2 = [\text{Sn}^{2+}]_0 = C_1$. Les deux solutions sont reliées par un pont salin contenant une solution saturée de chlorure d'ammonium $\text{NH}^+_{4(aq)} + \text{Cl}^-_{(aq)}$. On monte en série entre les pôles de la pile, un conducteur ohmique (D), un ampèremètre et un interrupteur. On ferme l'interrupteur à l'instant $t = 0$, un courant d'intensité $I = 17{,}13\ \text{mA}$ circule alors dans le circuit. La courbe ci-contre représente l'évolution temporelle de la concentration des ions $\text{Sn}^{2+}_{(aq)}$ (la courbe est une droite croissante partant de $20.10^{-3}\ \text{mol.L}^{-1}$ à $t = 0$ jusqu'à environ $27{,}4.10^{-3}\ \text{mol.L}^{-1}$ à $t = 2{,}5.10^3\ \text{s}$, puis un palier horizontal).  **Donnée :** La constante de Faraday : $1\,\text{F} = 9{,}65.10^4\ \text{C.mol}^{-1}$. Soit K la constante d'équilibre, à 25 °C, associée à l'équation de la réaction : $$\text{Pb}_{(s)} + \text{Sn}^{2+}_{(aq)} \underset{(2)}{\overset{(1)}{\rightleftharpoons}} \text{Sn}_{(s)} + \text{Pb}^{2+}_{(aq)}$$ 1. En exploitant la courbe, déterminer le sens d'évolution du système chimique. **(0,5 pt)** 2. Écrire l'équation de la réaction qui se produit au niveau de l'anode. **(0,25 pt)** 3. Représenter le schéma conventionnel de la pile étudiée. **(0,25 pt)** 4. Déterminer le sens de migration des ions chlorure $\text{Cl}^-$ lors du fonctionnement de cette pile. **(0,25 pt)** 5. En utilisant le tableau d'avancement de la réaction : - 5-1. Trouver, au cours du fonctionnement de la pile, l'expression de $[\text{Sn}^{2+}]$ à un instant t en fonction de $V_2$, $C_2$, F, I et t. **(0,75 pt)** - 5-2. Montrer que $K = \dfrac{2FC_2V_2 - I.\Delta t}{2FC_2V_2 + I.\Delta t}$, avec $\Delta t$ la durée maximale de fonctionnement de la pile. Calculer K. **(1 pt)** --- ## Exercice 2 : Ondes (2,75 points) — Propagation d'une onde mécanique à la surface de l'eau Dans cet exercice, on se propose d'étudier la propagation d'une onde mécanique à la surface de l'eau d'une piscine et en déduire la profondeur de l'eau. Une piscine de longueur $L = 47{,}5\ \text{m}$ est constituée de deux parties : - Une partie pour les grands de longueur $L_1 = 30\ \text{m}$ et de profondeur $H_1$ (milieu 1) ; - Une partie pour les petits de longueur $L_2$ et de profondeur $H_2$ (milieu 2). La figure 1 représente une coupe longitudinale de la piscine contenant les points S, M et N de la surface libre de l'eau (S au bord du milieu 1, M à la frontière des deux milieux, N à l'autre bord).  À un instant de date $t = 0$, on crée une onde transversale rectiligne sinusoïdale au niveau de S situé au bord de la piscine. On reçoit cette onde à l'aide de deux récepteurs, l'un placé au point M et l'autre au point N. On néglige l'amortissement et la réflexion des ondes. Les courbes de la figure 2 représentent les élongations des points M et N en fonction du temps (une division correspond à 1,25 s ; $y_M$ commence à osciller à $t = 7{,}5\ \text{s}$ avec une période de 5 s ; $y_N$ commence à osciller à $t = 16{,}25\ \text{s}$).  La vitesse de propagation de l'onde à la surface de l'eau est donnée par la relation : $V = \sqrt{g.H}$ avec $g = 10\ \text{m.s}^{-2}$ l'intensité de pesanteur et H la profondeur de l'eau. 1. Déterminer le retard temporel $\tau_{M/S}$ du mouvement de M par rapport à celui de S et déduire la profondeur $H_1$. **(0,75 pt)** 2. Calculer la profondeur $H_2$. **(0,75 pt)** 3. Calculer les longueurs d'ondes $\lambda_1$ et $\lambda_2$ des ondes respectivement dans le milieu 1 et dans le milieu 2. **(0,5 pt)** 4. Afin d'empêcher les petits de passer chez les grands, deux obstacles ont été placés au niveau du point M et séparés d'une distance $a$ telle que $a \ll \lambda_1$. La figure 3 représente une vue de dessus de la piscine.  - 4-1. Donner le nom du phénomène qui se produit lors du passage de l'onde entre les deux obstacles. Justifier. **(0,25 pt)** - 4-2. Reproduire la figure 3 et y représenter (en utilisant l'échelle : $1\ \text{cm} \leftrightarrow 10\ \text{m}$), trois lignes de crêtes de l'onde dans chaque milieu. **(0,5 pt)** --- ## Exercice 3 : Électricité (5 points) *Les deux parties sont indépendantes.* ### Partie 1 : Le condensateur réel Dans un circuit ouvert comportant un condensateur chargé, se produit une décharge progressive et lente de ce condensateur au cours du temps. La durée de décharge dépend de la qualité du diélectrique du condensateur. Un tel condensateur est appelé condensateur réel ou condensateur imparfait et peut-être modélisé par une association en parallèle d'un condensateur parfait de capacité C et d'un conducteur ohmique de résistance $R_d$ (résistance de fuite) (figure 1).  **1- Charge d'un condensateur réel** Le circuit électrique de la figure 2 comporte :  - Un générateur de tension de f.e.m. E ; - Un conducteur ohmique de résistance R ; - Un condensateur réel de capacité $C = 5\ \mu\text{F}$ et de résistance de fuite $R_d$ ; - Un interrupteur K. À un instant pris comme origine des dates $t = 0$, on ferme l'interrupteur K. - 1-1. Vérifier que l'expression de l'intensité i du courant dans le circuit s'écrit : $i = \dfrac{1}{R_d}u_C + C\dfrac{du_C}{dt}$. **(0,5 pt)** - 1-2. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$ entre les armatures du condensateur s'écrit : $\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{u_C}{\tau} = A$ avec $\tau = \dfrac{R.R_d.C}{R_d + R}$ et $A = \dfrac{E}{R.C}$. **(0,5 pt)** - 1-3. Déduire, au régime permanent, l'expression de la tension maximale $u_{C(max)}$ en fonction de $R_d$, R et E. Comparer $u_{C(max)}$ à E. **(0,5 pt)** - 1-4. On considère que $R_d \gg R$. Un dispositif adéquat a permis de tracer l'évolution de la tension $u_C$ en fonction du temps t (figure 3) ((T) représente la tangente à la courbe à l'instant $t = 0$ ; la courbe tend vers 12 V et la tangente coupe l'asymptote à $t \approx 2{,}5\ \text{ms}$). En exploitant la courbe, déterminer la valeur de E et celle de R. **(0,5 pt)**  **2- Décharge du condensateur réel dans le cas où $R_d \gg R$** Lorsque le régime permanent est établi, on ouvre l'interrupteur K à un instant considéré comme une nouvelle origine des dates $t = 0$. - 2-1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur. **(0,25 pt)** - 2-2. La solution de l'équation différentielle est de la forme : $q(t) = \beta.e^{-\lambda.t}$ avec λ et β deux constantes positives. - 2-2-1. Sachant que la tension entre les armatures du condensateur prend la valeur $u_1 = 10\ \text{V}$ à la date $t_1 = 12\ \text{min}$, trouver la valeur de $R_d$. **(0,75 pt)** - 2-2-2. Soit $p = \dfrac{\xi_J}{\xi_0}$ la proportion de l'énergie dissipée par effet Joule dans le circuit, avec $\xi_0$ l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à $t = 0$ et $\xi_J$ l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance de fuite $R_d$. Calculer p à l'instant $t_1$. **(0,5 pt)** ### Partie 2 : Réception d'une onde modulée en amplitude Pour recevoir une onde radio de fréquence $F_P = 460\ \text{kHz}$ modulée en amplitude par un signal de fréquence $F_S = 1\ \text{kHz}$, on utilise un dispositif simplifié constitué des quatre parties représentées dans la figure 4 :  - Partie X : amplificateur et haut-parleur ; - Partie Y : condensateur C'' en série, conducteur ohmique R' en dérivation ; - Partie Z : antenne, bobine d'inductance L en parallèle avec un condensateur C en série avec un condensateur réglable $C_1$ ; - Partie W : diode D, conducteur ohmique R en parallèle avec un condensateur C'. 1. Donner le classement dans l'ordre (de gauche à droite) des parties X, Y, Z et W permettant d'obtenir un dispositif radio AM simplifié. **(0,25 pt)** 2. Choisir la proposition juste parmi les propositions suivantes : **(0,25 pt)** - a. Le signal reçu par l'antenne est sinusoïdal de fréquence $F_P$. - b. La fréquence propre du circuit LC (la partie Z) est : $F_0 = 2\pi\sqrt{L.C_e}$, avec $C_e$ la capacité du condensateur équivalent. - c. La partie Y est un filtre passe-bas qui permet l'élimination des signaux négatifs. - d. La partie W permet la détection de l'enveloppe de l'onde modulée. 3. La partie Z est constituée d'une association en parallèle d'une bobine d'inductance $L = 1\ \text{mH}$, et d'un condensateur de capacité $C = 150\ \text{pF}$ monté en série avec un autre condensateur de capacité $C_1$ réglable. Déterminer la valeur de la capacité $C_1$ pour recevoir l'onde de fréquence $F_P$. On prend $\pi^2 = 10$. **(0,5 pt)** 4. Pour avoir une bonne démodulation du signal de l'onde radio que l'on veut recevoir, on utilise un condensateur de capacité $C' = 20\ \text{nF}$ et un conducteur ohmique de résistance R (partie W), déterminer parmi les conducteurs ohmiques de résistances : $47\ \Omega$, $100\ \Omega$, $47\ \text{k}\Omega$, $100\ \text{k}\Omega$, celui qui convient. **(0,5 pt)** --- ## Exercice 4 : Mécanique (5,25 points) *Les deux parties sont indépendantes.* ### Partie 1 : Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme Le but de cette partie est de déterminer la valeur de l'intensité du champ de pesanteur g à une faible altitude. À un instant de date $t = 0$, on lance d'un point situé à une hauteur h de la surface de la Terre, un projectile de masse m, avec une vitesse initiale dont le vecteur $\vec{V}_0$ fait un angle α avec l'axe horizontal $(O, \vec{i})$. On néglige l'action de l'air et on étudie le mouvement du centre d'inertie G du projectile dans le repère d'espace $(O, \vec{i}, \vec{k})$ lié à un référentiel terrestre supposé galiléen (figure 1).  La position de G est repérée, à un instant t, par ses coordonnées (x, z). 1. Trouver, en appliquant la deuxième loi de Newton, les expressions des composantes $v_x(t)$ et $v_z(t)$ du vecteur vitesse $\vec{v}$ de G. **(0,5 pt)** 2. Exprimer la norme v du vecteur vitesse en fonction de g, α, $v_0$ et t. **(0,25 pt)** 3. La courbe de la figure 2 représente les variations de v en fonction du temps (la courbe part de $23\ \text{m.s}^{-1}$ à $t = 0$, passe par un minimum de $20\ \text{m.s}^{-1}$ puis croît). En exploitant la courbe, trouver :  - 3-1. La valeur $V_0$ de la vitesse initiale. **(0,25 pt)** - 3-2. Les valeurs des composantes $V_{0x}$ et $V_{0z}$ du vecteur vitesse $\vec{V}_0$. **(0,5 pt)** 4. Vérifier que : $\alpha \simeq 30°$. **(0,25 pt)** 5. La courbe de la figure 3 représente la trajectoire du mouvement de G dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{k})$. Soient $\Delta t_1$ la durée de passage du projectile de la position $M_1$ à la position $N_1$ situées à la même altitude $z_1$ et $\Delta t_2$ la durée de passage du projectile de la position $M_2$ à la position $N_2$ situées à la même altitude $z_2$ telles que $z_2 > z_1$ (Figure 3).  - 5-1. En se basant sur l'équation horaire $z = f(t)$, vérifier que : $\Delta t_1 = t_{N_1} - t_{M_1} = \dfrac{2\sqrt{(V_0\sin\alpha)^2 + 2g(h - z_1)}}{g}$ avec $t_{M_1}$ l'instant de passage de G par la position $M_1$ et $t_{N_1}$ l'instant de son passage par $N_1$. **(0,5 pt)** - 5-2. Soit $H = z_2 - z_1$, établir l'expression : $H = \dfrac{g}{8}\left((\Delta t_1)^2 - (\Delta t_2)^2\right)$ et déduire la valeur de g sachant que $\Delta t_1 = 0{,}7\ \text{s}$, $\Delta t_2 = 0{,}3\ \text{s}$ et $H = 0{,}49\ \text{m}$. **(0,5 pt)** ### Partie 2 : Mouvement d'un pendule élastique Dans cette partie, on étudie le mouvement d'un oscillateur mécanique modélisé par un système (solide-ressort) constitué d'un solide (S) de masse m, de centre d'inertie G, homogène de forme cubique d'arête $a = 2\ \text{cm}$ et d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. On fixe l'une des extrémités du ressort à un support et on accroche à l'autre extrémité le solide (S) qui peut glisser sur le plan horizontal (P). On étudie le mouvement du centre d'inertie G du solide (S) dans un repère $R(O, \vec{i})$ lié à un référentiel terrestre considéré galiléen.  On repère la position de G à un instant t par son abscisse x sur l'axe $(O, \vec{i})$. À l'équilibre, l'abscisse du centre d'inertie G du solide est nulle (figure 1). On écarte (S) de sa position d'équilibre et on le lâche. L'origine des dates ($t = 0$) est choisie à un instant où l'abscisse x de G est positive. On choisit le plan horizontal (P) comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ($E_{pp} = 0$) et l'état du système à l'équilibre comme état de référence de l'énergie potentielle élastique ($E_{pe} = 0$). La courbe de la figure 2 représente l'évolution de l'énergie potentielle $E_P$ du système en fonction du temps t (valeurs entre un minimum de 2 mJ et un maximum de 8 mJ ; $E_P(0) \approx 5\ \text{mJ}$ et décroissante à $t = 0$).  On néglige les frottements et on prend $g = 10\ \text{m.s}^{-2}$ et $\pi^2 = 10$. L'équation horaire du mouvement de G s'écrit : $x(t) = x_m\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$, $T_0$ étant la période propre de cet oscillateur. 1. Établir l'expression de l'énergie potentielle $E_P(t)$ du système en fonction de K, m, g, a et x(t). **(0,5 pt)** 2. Déduire, en utilisant la courbe de la figure 2, que l'expression de l'énergie potentielle du système (exprimée en joule) s'écrit : $E_P(t) = 6.10^{-3}\cos^2(4\pi.t + \varphi) + 2.10^{-3}$. **(0,75 pt)** 3. Déterminer la valeur de m, de K et celle de φ. **(0,75 pt)** 4. En utilisant la courbe de la figure 2, calculer la norme v du vecteur vitesse de G à l'instant $t = 0{,}25\ \text{s}$. **(0,5 pt)**

## Corrigé proposé — Physique-Chimie, Sciences Mathématiques A et B (option française), session normale 2023 (NS 30F) > Corrigé proposé pour la révision, rédigé après lecture du sujet officiel. Les valeurs lues sur les courbes sont approximatives. --- ## Exercice 1 : Chimie ### Partie 1 : dosage de l'acide propanoïque Leçons requises : réactions acido-basiques, constante d'acidité, dosage acido-basique. **1. Équation du dosage** $$\text{C}_2\text{H}_5\text{COOH}_{(aq)} + \text{HO}^-_{(aq)} \longrightarrow \text{C}_2\text{H}_5\text{COO}^-_{(aq)} + \text{H}_2\text{O}_{(\ell)}$$ **2. Effet de l'ajout d'eau** - L'eau distillée ne modifie pas la quantité de matière d'acide $n_A = C_A V_A$ présente dans le bécher. - À l'équivalence : $n_A = C_B V_{BE}$. - Donc $V_{BE}$ ne dépend que de $n_A$ et de $C_B$ : l'ajout d'eau ne le change pas. **3. Taux d'avancement avant l'équivalence** - **Avancement maximal :** avant l'équivalence, l'ion $\text{HO}^-$ est le réactif limitant, donc $x_{max} = C_B V_B$. - **Avancement final :** il reste dans le mélange $n(\text{HO}^-)_f = C_B V_B - x_f = [\text{HO}^-](V_A + V_e + V_B)$, avec $[\text{HO}^-] = \dfrac{K_e}{10^{-\text{pH}}} = K_e.10^{\text{pH}}$. - **Expression du taux :** $$\tau = \frac{x_f}{x_{max}} = 1 - \frac{K_e.10^{\text{pH}}(V_A + V_e + V_B)}{C_B V_B}$$ - **Application ($V_B = 3{,}9$ mL, pH = 4,86) :** $$\tau = 1 - \frac{10^{-14} \times 10^{4{,}86} \times 63{,}9.10^{-3}}{2.10^{-2} \times 3{,}9.10^{-3}} = 1 - 5{,}9.10^{-7} \approx 1$$ - **Conclusion :** la réaction de dosage est totale. **4. Concentrations et pKA** - **Concentration de la solution d'acide :** $n_A = C_B V_{BE} = 2.10^{-2} \times 7{,}8.10^{-3} = 1{,}56.10^{-4}\ \text{mol}$. - **Volume du mélange :** $V_T = V_A + V_e + V_{B1} = 63{,}9\ \text{mL}$. - **Concentrations (réaction totale) :** $$[\text{C}_2\text{H}_5\text{COO}^-] = \frac{C_B V_{B1}}{V_T} = \frac{7{,}8.10^{-5}}{63{,}9.10^{-3}} \approx 1{,}22.10^{-3}\ \text{mol.L}^{-1}$$ $$[\text{C}_2\text{H}_5\text{COOH}] = \frac{n_A - C_B V_{B1}}{V_T} = \frac{1{,}56.10^{-4} - 7{,}8.10^{-5}}{63{,}9.10^{-3}} \approx 1{,}22.10^{-3}\ \text{mol.L}^{-1}$$ - **pKA :** $$\text{p}K_A = \text{pH} - \log\frac{[\text{C}_2\text{H}_5\text{COO}^-]}{[\text{C}_2\text{H}_5\text{COOH}]} = 4{,}86 - \log 1 = 4{,}86$$ - **Remarque :** $V_{B1} = \frac{V_{BE}}{2}$, c'est la demi-équivalence, où $\text{pH} = \text{p}K_A$. **5. Nature basique à l'équivalence** - À l'équivalence, l'acide et les ions $\text{HO}^-$ ont été totalement consommés. - Le mélange contient essentiellement l'ion propanoate $\text{C}_2\text{H}_5\text{COO}^-$, base faible, avec des ions $\text{Na}^+$ indifférents. - La base réagit avec l'eau : $\text{C}_2\text{H}_5\text{COO}^- + \text{H}_2\text{O} \rightleftharpoons \text{C}_2\text{H}_5\text{COOH} + \text{HO}^-$, ce qui produit des ions $\text{HO}^-$. - Donc $\text{pH} > 7$ : le mélange est basique. **6. pH de la solution (S)** - **Concentration de (S) :** $C = \dfrac{n_A}{V_A} = \dfrac{1{,}56.10^{-4}}{10.10^{-3}} = 1{,}56.10^{-2}\ \text{mol.L}^{-1}$. - **Hypothèse :** l'acide est faible et peu dissocié, donc $[\text{C}_2\text{H}_5\text{COOH}] \approx C$ et $[\text{H}_3\text{O}^+] = [\text{C}_2\text{H}_5\text{COO}^-]$. - **Calcul :** $$K_A = \frac{[\text{H}_3\text{O}^+]^2}{C} \Rightarrow \text{pH} = \frac{1}{2}(\text{p}K_A - \log C) = \frac{1}{2}(4{,}86 + 1{,}81) \approx 3{,}33$$ - **Vérification :** $[\text{H}_3\text{O}^+] = 10^{-3{,}33} \approx 4{,}7.10^{-4}\ \text{mol.L}^{-1} \ll C$ (environ 3 %), donc l'approximation est justifiée. **7. Masse d'acide dans 40 mL** $$m = C.V.M = 1{,}56.10^{-2} \times 40.10^{-3} \times 74 \approx 4{,}62.10^{-2}\ \text{g} = 46{,}2\ \text{mg}$$ C'est bien la valeur indiquée sur l'étiquette. ### Partie 2 : pile plomb–étain Leçons requises : transformations spontanées dans les piles, quantité d'électricité, quotient de réaction et constante d'équilibre. **1. Sens d'évolution** - La concentration $[\text{Sn}^{2+}]$ augmente au cours du temps, donc l'étain est oxydé. - Le système évolue dans le **sens (2)** : $\text{Sn}_{(s)} + \text{Pb}^{2+}_{(aq)} \longrightarrow \text{Pb}_{(s)} + \text{Sn}^{2+}_{(aq)}$. - **Vérification :** $Q_{r,i} = \dfrac{[\text{Pb}^{2+}]_0}{[\text{Sn}^{2+}]_0} = 1 > K$ (voir 5-2), donc l'évolution se fait bien dans le sens inverse (2). **2. Réaction à l'anode (oxydation)** $$\text{Sn}_{(s)} \longrightarrow \text{Sn}^{2+}_{(aq)} + 2e^-$$ **3. Schéma conventionnel** $$\ominus\ \text{Sn}_{(s)}\,/\,\text{Sn}^{2+}_{(aq)}\ /\!/\ \text{Pb}^{2+}_{(aq)}\,/\,\text{Pb}_{(s)}\ \oplus$$ **4. Migration des ions chlorure** Dans le pont salin, les ions $\text{Cl}^-$ migrent vers le compartiment de l'étain (l'anode), où apparaissent des ions $\text{Sn}^{2+}$, afin de maintenir l'électroneutralité des solutions. **5-1. Expression de $[\text{Sn}^{2+}](t)$** - **Charge échangée :** la quantité d'électricité débitée est $Q = I.t = n(e^-).F$. - **Avancement :** d'après la demi-équation à l'anode, $n(e^-) = 2x$, donc $x = \dfrac{I.t}{2F}$. - **Expression :** $$[\text{Sn}^{2+}](t) = \frac{C_2V_2 + x}{V_2} = C_2 + \frac{I.t}{2F.V_2}$$ - **Vérification sur la courbe :** à $t = 2{,}5.10^3$ s, on trouve $[\text{Sn}^{2+}] = 2.10^{-2} + \dfrac{17{,}13.10^{-3} \times 2500}{2 \times 9{,}65.10^4 \times 0{,}03} \approx 27{,}4.10^{-3}\ \text{mol.L}^{-1}$, ce qui est conforme à la courbe. **5-2. Constante d'équilibre** - **État final :** la pile cesse de fonctionner ($\Delta t$) quand le système atteint l'équilibre. Avec $x_{eq} = \dfrac{I.\Delta t}{2F}$ et $V_1 = V_2$, $C_1 = C_2$ : - $[\text{Pb}^{2+}]_{eq} = C_2 - \dfrac{I.\Delta t}{2FV_2}$ ; - $[\text{Sn}^{2+}]_{eq} = C_2 + \dfrac{I.\Delta t}{2FV_2}$. - **Expression de K :** $$K = \frac{[\text{Pb}^{2+}]_{eq}}{[\text{Sn}^{2+}]_{eq}} = \frac{2FC_2V_2 - I.\Delta t}{2FC_2V_2 + I.\Delta t}$$ - **Application ($\Delta t = 2{,}5.10^3$ s, lue sur la courbe ; $C_2 = 2.10^{-2}\ \text{mol.L}^{-1}$) :** - $2FC_2V_2 = 2 \times 9{,}65.10^4 \times 2.10^{-2} \times 3.10^{-2} = 115{,}8\ \text{C}$ ; - $I.\Delta t = 17{,}13.10^{-3} \times 2500 \approx 42{,}8\ \text{C}$ ; - $K = \dfrac{115{,}8 - 42{,}8}{115{,}8 + 42{,}8} \approx 0{,}46$. --- ## Exercice 2 : onde à la surface de l'eau Leçons requises : ondes mécaniques progressives, ondes progressives périodiques, diffraction. **1. Retard et profondeur $H_1$** - **Retard :** M commence à vibrer à $t = 7{,}5$ s, donc $\tau_{M/S} = 7{,}5\ \text{s}$. - **Célérité dans le milieu 1 :** $V_1 = \dfrac{L_1}{\tau_{M/S}} = \dfrac{30}{7{,}5} = 4\ \text{m.s}^{-1}$. - **Profondeur :** $H_1 = \dfrac{V_1^2}{g} = \dfrac{16}{10} = 1{,}6\ \text{m}$. **2. Profondeur $H_2$** - **Longueur du milieu 2 :** $L_2 = L - L_1 = 17{,}5\ \text{m}$. - **Retard de N sur M :** $\tau_{N/M} = 16{,}25 - 7{,}5 = 8{,}75\ \text{s}$. - **Célérité :** $V_2 = \dfrac{17{,}5}{8{,}75} = 2\ \text{m.s}^{-1}$. - **Profondeur :** $H_2 = \dfrac{V_2^2}{g} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\ \text{m} = 40\ \text{cm}$. **3. Longueurs d'onde ($T = 5$ s, lue sur la figure 2)** - $\lambda_1 = V_1.T = 4 \times 5 = 20\ \text{m}$ - $\lambda_2 = V_2.T = 2 \times 5 = 10\ \text{m}$ **4-1. Phénomène :** c'est la **diffraction**, car l'ouverture a est très petite devant la longueur d'onde ($a \ll \lambda_1$). **4-2. Lignes de crête (échelle 1 cm ↔ 10 m)** - **Milieu 1 :** droites parallèles, perpendiculaires à la direction de propagation (SM), espacées de $\lambda_1 = 20$ m, soit **2 cm**. - **Milieu 2 :** arcs de cercles concentriques centrés sur l'ouverture M, espacés de $\lambda_2 = 10$ m, soit **1 cm**. La fréquence est conservée. --- ## Exercice 3 : Électricité ### Partie 1 : condensateur réel Leçons requises : dipôle RC (charge, décharge, énergie). **1-1. Expression de i** - **Loi des nœuds :** $i = i_1 + i_2$. - **Branche $R_d$ :** $i_1 = \dfrac{u_C}{R_d}$. - **Branche C :** $i_2 = \dfrac{dq}{dt} = C\dfrac{du_C}{dt}$. - **Résultat :** $i = \dfrac{1}{R_d}u_C + C\dfrac{du_C}{dt}$. **1-2. Équation différentielle** - **Loi d'additivité des tensions :** $E = R.i + u_C = \dfrac{R}{R_d}u_C + RC\dfrac{du_C}{dt} + u_C$. - **En divisant par RC :** $$\frac{du_C}{dt} + \frac{R_d + R}{R.R_d.C}u_C = \frac{E}{RC}$$ - **Résultat :** $\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{u_C}{\tau} = A$, avec $\tau = \dfrac{R.R_d.C}{R_d + R}$ et $A = \dfrac{E}{RC}$. **1-3. Tension maximale** - **Régime permanent :** $\dfrac{du_C}{dt} = 0$, donc $u_{C(max)} = A.\tau$. - **Expression :** $$u_{C(max)} = \frac{E}{RC}\cdot\frac{R.R_d.C}{R_d + R} = \frac{R_d.E}{R_d + R}$$ - **Comparaison :** $\dfrac{R_d}{R_d + R} < 1$, donc $u_{C(max)} < E$. **1-4. Valeurs de E et R** (avec $R_d \gg R$) - **Simplifications :** $u_{C(max)} \approx E$ et $\tau \approx RC$. - **E :** la courbe tend vers 12 V, donc $E = 12\ \text{V}$. - **R :** la tangente à l'origine coupe l'asymptote à $\tau = 2{,}5\ \text{ms}$, donc $$R = \frac{\tau}{C} = \frac{2{,}5.10^{-3}}{5.10^{-6}} = 500\ \Omega$$ **2-1. Équation différentielle de la décharge** - **Circuit :** K ouvert, le condensateur se décharge à travers $R_d$ seule. - **Lois :** $u_C + R_d.i = 0$ (convention récepteur pour $R_d$), avec $i = \dfrac{dq}{dt}$ et $u_C = \dfrac{q}{C}$. - **Équation :** $$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{R_dC}q = 0$$ **2-2-1. Valeur de $R_d$** - **Constantes de la solution :** - en reportant $q = \beta e^{-\lambda t}$ dans l'équation : $\lambda = \dfrac{1}{R_dC}$ ; - à $t = 0$ : $\beta = Q_0 = C.E$. - **Tension :** $u_C(t) = E.e^{-t/(R_dC)}$. - **Calcul à $t_1 = 12\ \text{min} = 720\ \text{s}$ :** $$10 = 12\,e^{-720/(R_dC)} \Rightarrow R_d = \frac{t_1}{C\ln(E/u_1)} = \frac{720}{5.10^{-6} \times \ln 1{,}2} \approx 7{,}90.10^8\ \Omega$$ **2-2-2. Proportion d'énergie dissipée** - **Énergie dissipée :** $\xi_J = \xi_0 - \xi(t_1) = \frac{1}{2}CE^2 - \frac{1}{2}Cu_1^2$. - **Proportion :** $$p = 1 - \left(\frac{u_1}{E}\right)^2 = 1 - \left(\frac{10}{12}\right)^2 \approx 0{,}305 = 30{,}5\%$$ ### Partie 2 : réception d'une onde AM Leçons requises : modulation d'amplitude, démodulation, circuit LC. **1. Ordre des parties :** Z → W → Y → X. - Z : antenne et circuit LC, pour la sélection de l'onde ; - W : détecteur d'enveloppe ; - Y : élimination de la composante continue ; - X : amplification et haut-parleur. **2. Proposition juste : d.** - a est fausse : le signal reçu est modulé, il n'est pas sinusoïdal. - b est fausse : $F_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L.C_e}}$. - c est fausse : Y est un filtre passe-haut qui élimine la composante continue. **3. Capacité $C_1$** - **Capacité équivalente nécessaire :** pour recevoir $F_P$, il faut $F_0 = F_P$, soit $\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC_e}} = F_P$, donc $$C_e = \frac{1}{4\pi^2 F_P^2 L} = \frac{1}{40 \times (4{,}6.10^5)^2 \times 10^{-3}} \approx 1{,}18.10^{-10}\ \text{F} = 118\ \text{pF}$$ - **Condensateurs en série :** $\dfrac{1}{C_e} = \dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C_1}$, donc $$C_1 = \frac{C.C_e}{C - C_e} = \frac{150 \times 118{,}1}{150 - 118{,}1} \approx 5{,}6.10^2\ \text{pF}$$ **4. Choix de R** - **Condition d'une bonne détection d'enveloppe :** $T_P \ll RC' < T_S$, avec $T_P = \dfrac{1}{F_P} \approx 2{,}2\ \mu\text{s}$ et $T_S = 1\ \text{ms}$. | R | 47 Ω | 100 Ω | 47 kΩ | 100 kΩ | |---|---|---|---|---| | RC' | 0,94 µs | 2 µs | 0,94 ms | 2 ms | - **Choix :** seule la valeur **R = 47 kΩ** vérifie la condition. --- ## Exercice 4 : Mécanique ### Partie 1 : projectile Leçons requises : deuxième loi de Newton, mouvement plan dans un champ de pesanteur uniforme. **1. Composantes de la vitesse** - **Système :** le projectile, soumis à son seul poids $\vec{P} = m\vec{g}$. - **Deuxième loi de Newton :** $m\vec{a} = m\vec{g}$, donc $\vec{a} = -g\vec{k}$ : $a_x = 0$ et $a_z = -g$. - **Intégration avec les conditions initiales :** - $v_x(t) = V_0\cos\alpha$ - $v_z(t) = -g.t + V_0\sin\alpha$ **2. Norme de la vitesse** $$v = \sqrt{(V_0\cos\alpha)^2 + (V_0\sin\alpha - g.t)^2} = \sqrt{V_0^2 - 2V_0 g\sin\alpha.t + g^2t^2}$$ **3-1. Vitesse initiale :** à $t = 0$, on lit $V_0 = 23\ \text{m.s}^{-1}$. **3-2. Composantes** - **$V_{0x}$ :** la vitesse est minimale au sommet, où $v_z = 0$, donc $v_{min} = V_{0x} = 20\ \text{m.s}^{-1}$. - **$V_{0z}$ :** $$V_{0z} = \sqrt{V_0^2 - V_{0x}^2} = \sqrt{529 - 400} \approx 11{,}4\ \text{m.s}^{-1}$$ **4. Angle de tir** $$\cos\alpha = \frac{V_{0x}}{V_0} = \frac{20}{23} \approx 0{,}87 \Rightarrow \alpha \simeq 30°$$ **5-1. Durée $\Delta t_1$** - **Équation horaire :** $z(t) = -\frac{1}{2}g t^2 + V_0\sin\alpha.t + h$. - **Passage à l'altitude $z_1$ :** $\frac{1}{2}g t^2 - V_0\sin\alpha.t + (z_1 - h) = 0$. - **Discriminant réduit :** $\Delta' = (V_0\sin\alpha)^2 + 2g(h - z_1)$. - **Racines :** $t = \dfrac{V_0\sin\alpha \pm \sqrt{\Delta'}}{g}$. - **Résultat :** $$\Delta t_1 = t_{N_1} - t_{M_1} = \frac{2\sqrt{(V_0\sin\alpha)^2 + 2g(h - z_1)}}{g}$$ **5-2. Expression de H et valeur de g** - **Mise au carré :** de même pour $z_2$, et en élevant au carré : - $(\Delta t_1)^2 = \dfrac{4[(V_0\sin\alpha)^2 + 2g(h - z_1)]}{g^2}$ ; - $(\Delta t_2)^2 = \dfrac{4[(V_0\sin\alpha)^2 + 2g(h - z_2)]}{g^2}$. - **Différence :** $$(\Delta t_1)^2 - (\Delta t_2)^2 = \frac{8g(z_2 - z_1)}{g^2} = \frac{8H}{g} \Rightarrow H = \frac{g}{8}\left((\Delta t_1)^2 - (\Delta t_2)^2\right)$$ - **Application :** $$g = \frac{8H}{(\Delta t_1)^2 - (\Delta t_2)^2} = \frac{8 \times 0{,}49}{0{,}49 - 0{,}09} = 9{,}8\ \text{m.s}^{-2}$$ ### Partie 2 : pendule élastique horizontal Leçons requises : systèmes mécaniques oscillants, aspects énergétiques des oscillations. **1. Énergie potentielle** - **Énergie potentielle élastique :** $E_{pe} = \frac{1}{2}Kx^2$, car l'état de référence est l'équilibre et le ressort n'est pas déformé à l'équilibre sur le plan horizontal. - **Énergie potentielle de pesanteur :** G est à la hauteur $\frac{a}{2}$ au-dessus du plan (P), d'où $E_{pp} = mg\frac{a}{2}$ (constante). - **Expression :** $$E_P(t) = \frac{1}{2}Kx^2(t) + \frac{1}{2}mga$$ **2. Expression numérique** - **Remplacement de x(t) :** $$E_P = \frac{1}{2}Kx_m^2\cos^2\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right) + \frac{1}{2}mga$$ - **Lecture de la courbe :** - minimum : $\frac{1}{2}mga = 2.10^{-3}$ J ; - maximum : $\frac{1}{2}Kx_m^2 + \frac{1}{2}mga = 8.10^{-3}$ J, d'où $\frac{1}{2}Kx_m^2 = 6.10^{-3}$ J ; - période de $E_P$ : $\frac{T_0}{2} = 0{,}25$ s, donc $T_0 = 0{,}5$ s et $\frac{2\pi}{T_0} = 4\pi\ \text{rad.s}^{-1}$. - **Résultat :** $E_P(t) = 6.10^{-3}\cos^2(4\pi t + \varphi) + 2.10^{-3}$ (en J). **3. Valeurs de m, K et φ** - **Masse :** $$m = \frac{2 \times 2.10^{-3}}{g.a} = \frac{4.10^{-3}}{10 \times 0{,}02} = 0{,}02\ \text{kg} = 20\ \text{g}$$ - **Raideur :** $$K = \frac{4\pi^2 m}{T_0^2} = \frac{40 \times 0{,}02}{0{,}25} = 3{,}2\ \text{N.m}^{-1}$$ - **Phase φ :** - à $t = 0$ : $E_P(0) = 5.10^{-3}$ J, donc $6.10^{-3}\cos^2\varphi = 3.10^{-3}$, soit $\cos^2\varphi = \frac{1}{2}$ ; - $x(0) > 0$, donc $\cos\varphi > 0$ ; - $E_P$ décroît à $t = 0$, donc $|x|$ décroît : G se dirige vers O, d'où $v(0) < 0$, c'est-à-dire $-x_m\frac{2\pi}{T_0}\sin\varphi < 0$, soit $\sin\varphi > 0$. - Conclusion : $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$ rad. **4. Vitesse à $t = 0{,}25$ s** - **Énergie mécanique (sans frottements) :** elle se conserve, $E_m = E_c + E_P = 8.10^{-3}$ J (valeur maximale de $E_P$, où $E_c = 0$). - **Énergie potentielle à t = 0,25 s :** $E_P(0{,}25) = 6.10^{-3}\cos^2\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) + 2.10^{-3} = 5.10^{-3}$ J, ce qui correspond aussi à la lecture de la courbe. - **Énergie cinétique :** $E_c = 8.10^{-3} - 5.10^{-3} = 3.10^{-3}$ J. - **Vitesse :** $$v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{6.10^{-3}}{0{,}02}} = \sqrt{0{,}3} \approx 0{,}55\ \text{m.s}^{-1}$$ --- > **Avertissement :** corrigé proposé pour la révision, ce n'est pas un corrigé officiel. Vérifiez avec les leçons citées et les éléments de réponse officiels du Centre National de l'Évaluation et des Examens.