الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا 2023 - الدورة العادية - الرياضيات - العلوم الرياضية (أ) و (ب)

### الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا — الدورة العادية 2023 — الموضوع **المادة:** الرياضيات — **الشعبة:** العلوم الرياضية (أ) و (ب) — **الرمز:** NS 24 **مدة الإنجاز:** 4 ساعات — **المعامل:** 9 - يسمح باستعمال الآلة الحاسبة غير القابلة للبرمجة. - يتكون الموضوع من خمسة تمارين مستقلة فيما بينها. --- ### التمرين 1 (7,75 نقطة) #### الجزء I 1. - أ) بيّن أن: $\forall t \in [0, +\infty[\ ;\ \dfrac{4}{(2+t)^2} \le \dfrac{1}{1+t} \le \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{(1+t)^2}\right)$ **(0,5 ن)** - ب) استنتج أن: $\forall x \in [0, +\infty[\ ;\ \dfrac{2x}{2+x} \le \ln(1+x) \le \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2 + 2x}{1+x}\right)$ **(0,5 ن)** 2. لتكن $g$ الدالة العددية للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة على $]0, +\infty[$ بما يلي: $g(x) = \dfrac{\ln(1+x)}{x}$. بيّن أن: $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{g(x) - 1}{x} = -\dfrac{1}{2}$ **(0,5 ن)** #### الجزء II لتكن $f$ الدالة العددية للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة على $[0, +\infty[$ بما يلي: $$\forall x \in ]0, +\infty[\ ;\ f(x) = g(x)e^{-x} \quad \text{و} \quad f(0) = 1$$ وليكن $(C)$ منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم $(O; \vec{i}, \vec{j})$. 1. احسب $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ ثم أوّل مبيانياً النتيجة المحصل عليها. **(0,5 ن)** 2. - أ) بيّن أن $f$ متصلة على اليمين في 0. **(0,25 ن)** - ب) تحقق أن: $\forall x \in ]0, +\infty[\ ;\ \dfrac{f(x) - 1}{x} = \left(\dfrac{e^{-x} - 1}{x}\right)g(x) + \left(\dfrac{g(x) - 1}{x}\right)$ **(0,25 ن)** - ج) استنتج أن $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين في 0 وحدد $f'_d(0)$. **(0,5 ن)** 3. بيّن أن $f$ قابلة للاشتقاق على $]0, +\infty[$ ثم أن: $\forall x \in ]0, +\infty[\ ;\ f'(x) = \dfrac{x - (1+x)^2\ln(1+x)}{x^2(1+x)}e^{-x}$ **(0,75 ن)** 4. - أ) بيّن أن: $\forall x \in ]0, +\infty[\ ;\ -\dfrac{3}{2} < \dfrac{x - (1+x)^2\ln(1+x)}{x^2(1+x)} < 0$ **(0,5 ن)** - ب) استنتج أن: $\forall x \in ]0, +\infty[\ ;\ -\dfrac{3}{2} < f'(x) < 0$ **(0,25 ن)** 5. - أ) أعط جدول تغيرات الدالة $f$. **(0,25 ن)** - ب) أنشئ المنحنى $(C)$ مبرزاً نصف المماس على اليمين في النقطة ذات الأفصول 0 (نأخذ $\|\vec{i}\| = 2\ \text{cm}$). **(0,75 ن)** #### الجزء III 1. بيّن أن المعادلة ذات المجهول $x$: $f(x) = 3x$، تقبل حلاً وحيداً $\alpha$ في $]0, +\infty[$. **(0,5 ن)** 2. ليكن $\beta \in \mathbb{R}^+$ و $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $u_0 = \beta$ و $\forall n \in \mathbb{N}\ ;\ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}f(u_n)$ - أ) بيّن أن: $\forall n \in \mathbb{N}\ ;\ u_n \ge 0$ **(0,5 ن)** - ب) بيّن أن: $\forall n \in \mathbb{N}\ ;\ |u_{n+1} - \alpha| \le \dfrac{1}{2}|u_n - \alpha|$ **(0,5 ن)** - ج) بيّن بالترجع أن: $\forall n \in \mathbb{N}\ ;\ |u_n - \alpha| \le \dfrac{1}{2^n}|\beta - \alpha|$ **(0,5 ن)** - د) استنتج أن المتتالية $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ تؤول إلى $\alpha$. **(0,25 ن)** --- ### التمرين 2 (2,25 نقطة) نعتبر الدالة العددية $x \mapsto e^x$ وليكن $(\Gamma)$ منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم $(O; \vec{i}, \vec{j})$. لكل $n \in \mathbb{N}^*$ ولكل $k \in \{0; 1; \dots; n\}$، نشير بالرمز $M_k$ إلى نقطة المنحنى $(\Gamma)$ ذات الإحداثيات $\left(\dfrac{k}{n}; e^{\frac{k}{n}}\right)$. 1. - أ) بيّن أن: $\forall k \in \{0; 1; \dots; (n-1)\}\ \ \exists c_k \in \left]\dfrac{k}{n}; \dfrac{k+1}{n}\right[\ :\ e^{\frac{k+1}{n}} - e^{\frac{k}{n}} = \dfrac{1}{n}e^{c_k}$ **(0,5 ن)** - ب) بيّن أن: $\forall k \in \{0; 1; \dots; (n-1)\}\ ;\ M_kM_{k+1} = \dfrac{1}{n}\sqrt{1 + e^{2c_k}}$ ($M_kM_{k+1}$ هي المسافة من $M_k$ إلى $M_{k+1}$) **(0,25 ن)** - ج) استنتج أن: $\forall k \in \{0; 1; \dots; (n-1)\}\ ;\ \dfrac{1}{n}\sqrt{1 + e^{\frac{2k}{n}}} \le M_kM_{k+1} \le \dfrac{1}{n}\sqrt{1 + e^{\frac{2(k+1)}{n}}}$ **(0,5 ن)** 2. لتكن $(S_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $\forall n \in \mathbb{N}^*\ ;\ S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} M_kM_{k+1}$ - أ) تحقق أن: $\forall n \in \mathbb{N}^*\ ;\ \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{1 + e^{\frac{2k}{n}}} \le S_n \le \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1 + e^{\frac{2k}{n}}}$ **(0,5 ن)** - ب) استنتج أن: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = \int_0^1 \sqrt{1 + e^{2x}}\,dx$ **(0,5 ن)** --- ### التمرين 3 (3,5 نقطة) نعتبر العدد العقدي: $u = 1 + (2 - \sqrt{3})i$ 1. - أ) اكتب على الشكل الأسي الأعداد العقدية: $1 - i$ و $1 + \sqrt{3}i$ **(0,5 ن)** - ب) بيّن أن: $\dfrac{(1-i)(1+\sqrt{3}i)}{2\sqrt{2}} = e^{i\frac{\pi}{12}}$ **(0,25 ن)** - ج) استنتج أن: $\tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = 2 - \sqrt{3}$ **(0,25 ن)** - د) بيّن أن: $u = (\sqrt{6} - \sqrt{2})e^{i\frac{\pi}{12}}$ **(0,5 ن)** 2. نعتبر المتتاليتين العدديتين $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ و $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ المعرفتين بما يلي: $x_0 = 1$ ، $y_0 = 0$ و $$(\forall n \in \mathbb{N})\ ;\ \begin{cases} x_{n+1} = x_n - (2-\sqrt{3})y_n \\ y_{n+1} = (2-\sqrt{3})x_n + y_n \end{cases}$$ - أ) بيّن بالترجع أن لكل $n \in \mathbb{N}$: $x_n + iy_n = u^n$ **(0,5 ن)** - ب) استنتج أن لكل $n \in \mathbb{N}$: $x_n = \dfrac{\cos\left(\frac{n\pi}{12}\right)}{\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)^n}$ و $y_n = \dfrac{\sin\left(\frac{n\pi}{12}\right)}{\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)^n}$ **(0,5 ن)** 3. المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O; \vec{e_1}, \vec{e_2})$. لكل عدد صحيح طبيعي $n$، نشير بالرمز $A_n$ إلى النقطة ذات اللحق $u^n$. - أ) حدد الأعداد الصحيحة $n$ التي تكون من أجلها النقط $O$ و $A_0$ و $A_n$ مستقيمية. **(0,5 ن)** - ب) بيّن أنه لكل عدد صحيح $n$، المثلث $OA_nA_{n+1}$ قائم الزاوية في $A_n$. **(0,5 ن)** --- ### التمرين 4 (3 نقط) ليكن $p$ عدداً أولياً فردياً. نعتبر في $\mathbb{Z}$ المعادلة: $(E)\ :\ x^2 \equiv 2\ [p]$ 1. - أ) بيّن أن: $2^{p-1} \equiv 1\ [p]$ **(0,25 ن)** - ب) استنتج أن: $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1\ [p]$ أو $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1\ [p]$ (لاحظ أن: $(2^{\frac{p-1}{2}} - 1)(2^{\frac{p-1}{2}} + 1) = 2^{p-1} - 1$) **(0,25 ن)** 2. ليكن $x$ حلاً للمعادلة $(E)$. - أ) بيّن أن $p$ و $x$ أوليان فيما بينهما. **(0,5 ن)** - ب) استنتج أن: $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1\ [p]$ (يمكن استعمال مبرهنة فيرما Fermat) **(0,5 ن)** 3. بيّن أن لكل $k \in \{1, 2, \dots, p-1\}$، $p$ يقسم $C_p^k$. (نذكر أن لكل $k \in \{1, 2, \dots, p-1\}$: $C_p^k = \dfrac{p!}{k!(p-k)!}$ و $kC_p^k = pC_{p-1}^{k-1}$) **(0,25 ن)** 4. - أ) باستعمال صيغة موافر (Moivre)، بيّن أن: $(1+i)^p = 2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\dfrac{\pi}{4}\right) + i\,2^{\frac{p}{2}}\sin\left(p\dfrac{\pi}{4}\right)$ ($i$ هو العدد العقدي بحيث: $i^2 = -1$) **(0,25 ن)** - ب) نقبل أن: $(1+i)^p = \displaystyle\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^kC_p^{2k} + i\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^kC_p^{2k+1}$. بيّن أن: $2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\dfrac{\pi}{4}\right) \in \mathbb{Z}$ و $2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\dfrac{\pi}{4}\right) \equiv 1\ [p]$ (يمكن استعمال السؤال 3) **(0,5 ن)** 5. استنتج أنه إذا كان $p \equiv 5\ [8]$ فإن المعادلة $(E)$ لا تقبل حلاً في $\mathbb{Z}$. **(0,5 ن)** --- ### التمرين 5 (3,5 نقطة) نذكر أن $(M_2(\mathbb{R}), +, \times)$ حلقة غير تبادلية صفرها المصفوفة $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ووحدتها المصفوفة $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$، وأن $(M_2(\mathbb{R}), +, .)$ فضاء متجهي حقيقي. نعتبر المجموعة $E = \left\{M(x,y) = \begin{pmatrix} x+y & y \\ 2y & x-y \end{pmatrix} \ /\ (x,y) \in \mathbb{R}^2\right\}$ #### الجزء I 1. بيّن أن $E$ زمرة جزئية للزمرة $(M_2(\mathbb{R}), +)$. **(0,5 ن)** 2. بيّن أن $E$ فضاء متجهي جزئي للفضاء المتجهي $(M_2(\mathbb{R}), +, .)$. **(0,25 ن)** 3. - أ) تحقق أن: $\forall (x,y,x',y') \in \mathbb{R}^4\ ;\ M(x,y) \times M(x',y') = M(xx' + 3yy', xy' + yx')$ **(0,25 ن)** - ب) استنتج أن $(E, +, \times)$ حلقة تبادلية وواحدية. **(0,5 ن)** 4. - أ) تحقق أن: $M(\sqrt{3}, 1) \times M(-\sqrt{3}, 1) = O$ **(0,25 ن)** - ب) استنتج أن $(E, +, \times)$ ليس جسماً. **(0,25 ن)** #### الجزء II ليكن $G = \left\{M(x,y) = \begin{pmatrix} x+y & y \\ 2y & x-y \end{pmatrix} \ /\ (x,y) \in \mathbb{Q}^2\right\}$ و $F = \{x + y\sqrt{3}\ /\ (x,y) \in \mathbb{Q}^2\}$ 1. بيّن أن: $\forall (x,y) \in \mathbb{Q}^2\ ;\ x + y\sqrt{3} = 0$ يكافئ ($x = 0$ و $y = 0$) **(0,25 ن)** 2. بيّن أن $F - \{0\}$ زمرة جزئية للزمرة $(\mathbb{R}^*, \times)$. **(0,25 ن)** 3. ليكن $\varphi$ التطبيق المعرف من $F - \{0\}$ نحو $E$ بما يلي: $\forall (x,y) \in \mathbb{Q}^2 - \{(0,0)\}\ ;\ \varphi(x + y\sqrt{3}) = M(x,y)$ - أ) تحقق أن: $\varphi(F - \{0\}) = G - \{O\}$ **(0,25 ن)** - ب) بيّن أن $\varphi$ تشاكل من $(F - \{0\}, \times)$ نحو $(E, \times)$. **(0,25 ن)** - ج) استنتج أن $(G - \{O\}, \times)$ زمرة تبادلية. **(0,25 ن)** 4. بيّن أن $(G, +, \times)$ جسم تبادلي. **(0,25 ن)** **انتهى**

## حل مقترح — الرياضيات، العلوم الرياضية (أ) و (ب)، الدورة العادية 2023 (NS 24) > حل مقترح للمراجعة، أُعدّ بعد قراءة الموضوع الرسمي. ننصح بإعادة كل استدلال بنفسك قبل قراءة الحل. --- ## التمرين 1: دراسة دالة ومتتالية الدروس المطلوبة: النهايات والاتصال، الاشتقاق ومبرهنة التزايدات المنتهية، الدوال اللوغاريتمية والأسية، الحساب التكاملي، المتتاليات العددية. ### الجزء I **1- أ)** ليكن $t \ge 0$. - **المتفاوتة اليسرى:** $$\frac{4}{(2+t)^2} \le \frac{1}{1+t} \iff 4(1+t) \le (2+t)^2 = 4 + 4t + t^2 \iff 0 \le t^2$$ وهذا صحيح. - **المتفاوتة اليمنى:** نضع $a = \frac{1}{1+t}$. $$\frac{1}{2}(1 + a^2) - a = \frac{1}{2}(1 - a)^2 \ge 0$$ إذن $\dfrac{1}{1+t} \le \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{(1+t)^2}\right)$. **1- ب)** الدوال الثلاث متصلة على $[0, x]$ مع $x \ge 0$. نكامل المتفاوتة من $0$ إلى $x$: - $\displaystyle\int_0^x \frac{4}{(2+t)^2}dt = \left[-\frac{4}{2+t}\right]_0^x = 2 - \frac{4}{2+x} = \frac{2x}{2+x}$ - $\displaystyle\int_0^x \frac{dt}{1+t} = \ln(1+x)$ - $\displaystyle\int_0^x \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{(1+t)^2}\right)dt = \frac{1}{2}\left[t - \frac{1}{1+t}\right]_0^x = \frac{1}{2}\left(x + 1 - \frac{1}{1+x}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2 + 2x}{1+x}$ ومنه المتفاوتة المطلوبة. **2)** ليكن $x > 0$. نقسم المتفاوتة 1-ب على $x$: $$\frac{2}{2+x} \le g(x) \le \frac{x+2}{2(1+x)}$$ نطرح 1: $$-\frac{x}{2+x} \le g(x) - 1 \le \frac{x + 2 - 2 - 2x}{2(1+x)} = -\frac{x}{2(1+x)}$$ نقسم على $x > 0$: $$-\frac{1}{2+x} \le \frac{g(x) - 1}{x} \le -\frac{1}{2(1+x)}$$ الطرفان يؤولان إلى $-\frac{1}{2}$ عندما $x \to 0^+$، إذن حسب مبرهنة الدرك: $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{g(x)-1}{x} = -\frac{1}{2}$. ### الجزء II **1)** لدينا $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln(1+x)}{x} = 0$ (لأن $\frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{\ln(1+x)}{1+x}\cdot\frac{1+x}{x}$)، و $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}e^{-x} = 0$. - إذن $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x) = 0$. - **التأويل:** المستقيم ذو المعادلة $y = 0$ (محور الأفاصيل) مقارب أفقي للمنحنى $(C)$ بجوار $+\infty$. **2- أ)** لدينا $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}g(x) = \lim_{x \to 0^+}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ و $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}e^{-x} = 1$. - إذن $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}f(x) = 1 = f(0)$، ومنه $f$ متصلة على اليمين في 0. **2- ب)** لكل $x > 0$: $$\frac{f(x) - 1}{x} = \frac{g(x)e^{-x} - g(x) + g(x) - 1}{x} = \left(\frac{e^{-x} - 1}{x}\right)g(x) + \frac{g(x) - 1}{x}$$ **2- ج)** لدينا: - $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{e^{-x} - 1}{x} = -1$ (العدد المشتق للدالة $x \mapsto e^{-x}$ في 0)؛ - $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}g(x) = 1$؛ - $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{g(x)-1}{x} = -\frac{1}{2}$. إذن: $$\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x) - 1}{x} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$$ ومنه $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين في 0، و $f'_d(0) = -\dfrac{3}{2}$. **3)** الدوال $x \mapsto \ln(1+x)$ و $x \mapsto \frac{1}{x}$ و $x \mapsto e^{-x}$ قابلة للاشتقاق على $]0, +\infty[$، إذن $f$ قابلة للاشتقاق على هذا المجال. - **مشتقة g:** $$g'(x) = \frac{\frac{x}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$$ - **مشتقة f:** $f'(x) = (g'(x) - g(x))e^{-x}$. - **الحساب:** $$g'(x) - g(x) = \frac{x - (1+x)\ln(1+x) - x(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)} = \frac{x - (1+x)^2\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$$ ومنه المطلوب. **4- أ)** ليكن $x > 0$، ونضع $N(x) = x - (1+x)^2\ln(1+x)$. - **الطرف الأيمن ($< 0$):** حسب 1-ب، $\ln(1+x) \ge \frac{2x}{2+x}$، إذن: $$N(x) \le x - \frac{2x(1+x)^2}{2+x} = \frac{x(2 + x - 2 - 4x - 2x^2)}{2+x} = -\frac{x^2(3 + 2x)}{2+x} < 0$$ - **الطرف الأيسر ($> -\frac{3}{2}$):** حسب 1-ب، $\ln(1+x) \le \frac{x(x+2)}{2(1+x)}$، إذن: $$N(x) \ge x - \frac{x(x+2)(1+x)}{2}$$ ومنه: $$\frac{N(x)}{x^2(1+x)} \ge \frac{1}{x(1+x)} - \frac{x+2}{2x} = \frac{2 - (x+2)(x+1)}{2x(1+x)} = -\frac{x+3}{2(1+x)}$$ - **المقارنة:** $-\frac{x+3}{2(1+x)} > -\frac{3}{2} \iff x + 3 < 3 + 3x \iff x > 0$، وهذا صحيح. إذن $-\dfrac{3}{2} < \dfrac{N(x)}{x^2(1+x)} < 0$. **4- ب)** نضع $a(x) = \frac{N(x)}{x^2(1+x)} \in \left]-\frac{3}{2}, 0\right[$، فيكون $f'(x) = a(x)e^{-x}$ مع $0 < e^{-x} < 1$. - بما أن $a(x) < 0$ و $0 < e^{-x} < 1$، فإن $a(x) < a(x)e^{-x} < 0$. - إذن $-\frac{3}{2} < a(x) < f'(x) < 0$. **5- أ)** جدول التغيرات: $f'(x) < 0$ على $]0, +\infty[$، إذن $f$ تناقصية قطعاً على $[0, +\infty[$: | $x$ | $0$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---| | $f'(x)$ | $-\frac{3}{2}$ | $-$ | | | $f(x)$ | $1$ | $\searrow$ | $0$ | **5- ب)** نصف المماس على اليمين في النقطة $(0; 1)$ معادلته $y = -\frac{3}{2}x + 1$ مع $x \ge 0$. - المنحنى $(C)$ ينطلق من النقطة $(0; 1)$ متناقصاً. - يقترب من محور الأفاصيل بجوار $+\infty$، ويبقى فوقه لأن $f(x) > 0$. ### الجزء III **1)** نعتبر الدالة $h(x) = f(x) - 3x$ على $[0, +\infty[$. - $h$ متصلة وتناقصية قطعاً، لأنها مجموع دالتين تناقصيتين قطعاً. - $h(0) = 1 > 0$ و $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}h(x) = -\infty$. - إذن $h$ تقابل من $[0, +\infty[$ نحو $]-\infty, 1]$، و $0$ ينتمي إلى هذا المجال، فالمعادلة $h(x) = 0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha$. - وبما أن $h(0) \ne 0$، فإن $\alpha \in ]0, +\infty[$. **2- أ)** بالترجع: - $u_0 = \beta \ge 0$. - إذا كان $u_n \ge 0$ فإن $f(u_n) > 0$، لأن $g > 0$ على $]0, +\infty[$ و $f(0) = 1$. إذن $u_{n+1} = \frac{1}{3}f(u_n) \ge 0$. **2- ب)** لدينا $f(\alpha) = 3\alpha$، إذن $u_{n+1} - \alpha = \frac{1}{3}(f(u_n) - f(\alpha))$. - إذا كان $u_n = \alpha$ فالمتفاوتة بديهية. - وإلا فإن $f$ متصلة على المجال المحدود بـ $u_n$ و $\alpha$ (المحتوى في $[0, +\infty[$) وقابلة للاشتقاق على داخله، المحتوى في $]0, +\infty[$، حيث $|f'| < \frac{3}{2}$. - حسب متفاوتة التزايدات المنتهية: $|f(u_n) - f(\alpha)| \le \frac{3}{2}|u_n - \alpha|$. - ومنه $|u_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}|u_n - \alpha| = \frac{1}{2}|u_n - \alpha|$. **2- ج)** بالترجع: - من أجل $n = 0$: $|u_0 - \alpha| = |\beta - \alpha|$. - إذا كان $|u_n - \alpha| \le \frac{1}{2^n}|\beta - \alpha|$، فإن حسب 2-ب: $$|u_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{2}|u_n - \alpha| \le \frac{1}{2^{n+1}}|\beta - \alpha|$$ **2- د)** بما أن $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{2^n} = 0$ (لأن $0 < \frac{1}{2} < 1$)، فإن $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}|u_n - \alpha| = 0$. - إذن $(u_n)$ متقاربة ونهايتها $\alpha$. --- ## التمرين 2: طول قوس من منحنى الدالة الأسية الدروس المطلوبة: مبرهنة التزايدات المنتهية، المسافة في المستوى، مجاميع ريمان والحساب التكاملي. **1- أ)** الدالة $\exp$ متصلة على $\left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right]$ وقابلة للاشتقاق على $\left]\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right[$. - حسب مبرهنة التزايدات المنتهية، يوجد $c_k \in \left]\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right[$ بحيث: $$e^{\frac{k+1}{n}} - e^{\frac{k}{n}} = \left(\frac{k+1}{n} - \frac{k}{n}\right)e^{c_k} = \frac{1}{n}e^{c_k}$$ **1- ب)** حسب 1-أ: $$M_kM_{k+1} = \sqrt{\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(e^{\frac{k+1}{n}} - e^{\frac{k}{n}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{n^2} + \frac{e^{2c_k}}{n^2}} = \frac{1}{n}\sqrt{1 + e^{2c_k}}$$ **1- ج)** لدينا $\frac{2k}{n} < 2c_k < \frac{2(k+1)}{n}$، والدوال $\exp$ و $\sqrt{1 + \cdot}$ تزايدية. - إذن $\dfrac{1}{n}\sqrt{1 + e^{\frac{2k}{n}}} \le M_kM_{k+1} \le \dfrac{1}{n}\sqrt{1 + e^{\frac{2(k+1)}{n}}}$. **2- أ)** نجمع المتفاوتات من $k = 0$ إلى $n - 1$. - **الطرف الأيمن:** نغير المؤشر $j = k + 1$: $$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{1 + e^{\frac{2(k+1)}{n}}} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{1 + e^{\frac{2j}{n}}}$$ - **النتيجة:** $$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{1 + e^{\frac{2k}{n}}} \le S_n \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1 + e^{\frac{2k}{n}}}$$ **2- ب)** الدالة $\varphi : x \mapsto \sqrt{1 + e^{2x}}$ متصلة على $[0, 1]$. - الطرفان مجموعا ريمان للدالة $\varphi$ على $[0, 1]$، بخطوة $\frac{1}{n}$: $$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\varphi\left(\frac{k}{n}\right) \quad \text{و} \quad \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\varphi\left(\frac{k}{n}\right)$$ - كلاهما يؤول إلى $\displaystyle\int_0^1\varphi(x)\,dx$. - حسب مبرهنة الدرك: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}S_n = \int_0^1\sqrt{1 + e^{2x}}\,dx$، وهو طول قوس المنحنى $(\Gamma)$ بين النقطتين ذواتي الأفصولين 0 و 1. --- ## التمرين 3: الأعداد العقدية الدروس المطلوبة: الأعداد العقدية (الشكل الأسي، صيغة موافر، الحساب المثلثي)، الاستدلال بالترجع، التأويل الهندسي. **1- أ)** $$1 - i = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} \quad ; \quad 1 + \sqrt{3}i = 2\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$$ **1- ب)** $$\frac{(1-i)(1+\sqrt{3}i)}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}e^{i\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)}}{2\sqrt{2}} = e^{i\frac{\pi}{12}}$$ **1- ج)** ننشر الجداء: $(1-i)(1+\sqrt{3}i) = (1 + \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - 1)i$. - بالمطابقة مع 1-ب: $\cos\frac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ و $\sin\frac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$. - إذن: $$\tan\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$$ **1- د)** - **إعادة كتابة u:** $$u = 1 + i\tan\frac{\pi}{12} = \frac{\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}}{\cos\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{\cos\frac{\pi}{12}}e^{i\frac{\pi}{12}}$$ - **قيمة المعامل:** $\cos\frac{\pi}{12} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$، إذن: $$\frac{1}{\cos\frac{\pi}{12}} = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$$ - ومنه $u = (\sqrt{6} - \sqrt{2})e^{i\frac{\pi}{12}}$. **2- أ)** بالترجع: - **التهيئة:** $x_0 + iy_0 = 1 = u^0$. - **الوراثة:** نفترض $x_n + iy_n = u^n$. إذن: $$u^{n+1} = (x_n + iy_n)(1 + (2-\sqrt{3})i) = \left[x_n - (2-\sqrt{3})y_n\right] + i\left[(2-\sqrt{3})x_n + y_n\right] = x_{n+1} + iy_{n+1}$$ **2- ب)** حسب 1-د: $$u^n = \frac{1}{\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)^n}e^{i\frac{n\pi}{12}}$$ - $x_n$ و $y_n$ عددان حقيقيان، وهما الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لـ $u^n$. - إذن $x_n = \dfrac{\cos\frac{n\pi}{12}}{\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)^n}$ و $y_n = \dfrac{\sin\frac{n\pi}{12}}{\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)^n}$. **3- أ)** لحق $A_0$ هو 1، ولحق $A_n$ هو $u^n$. - النقط $O$ و $A_0$ و $A_n$ مستقيمية $\iff$ $u^n \in \mathbb{R}$ $\iff$ $y_n = 0$ $\iff$ $\sin\frac{n\pi}{12} = 0$ $\iff$ $\frac{n\pi}{12} = k\pi$ مع $k \in \mathbb{Z}$. - إذن الأعداد المطلوبة هي $n = 12k$ مع $k \in \mathbb{N}$، أي مضاعفات 12. **3- ب)** $A_n \ne O$ لأن $u^n \ne 0$. - **الحساب:** $$\frac{z_{A_{n+1}} - z_{A_n}}{z_O - z_{A_n}} = \frac{u^{n+1} - u^n}{-u^n} = 1 - u = -(2 - \sqrt{3})i$$ - هذا العدد تخيلي صرف غير منعدم، إذن $(\overrightarrow{A_nO}, \overrightarrow{A_nA_{n+1}}) \equiv -\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$. - ومنه المثلث $OA_nA_{n+1}$ قائم الزاوية في $A_n$. --- ## التمرين 4: الحسابيات الدروس المطلوبة: الحسابيات في $\mathbb{Z}$ (الموافقة، مبرهنة فيرما، مبرهنة Gauss)، صيغة الحدانية، صيغة موافر. **1- أ)** $p$ أولي فردي، إذن $p \nmid 2$. حسب مبرهنة فيرما: $2^{p-1} \equiv 1\ [p]$. **1- ب)** - **التحليل:** $p$ فردي، إذن $\frac{p-1}{2} \in \mathbb{N}$، ولدينا $(2^{\frac{p-1}{2}} - 1)(2^{\frac{p-1}{2}} + 1) = 2^{p-1} - 1 \equiv 0\ [p]$. - **الاستنتاج:** $p$ أولي ويقسم الجداء، إذن يقسم أحد العاملين. - ومنه $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1\ [p]$ أو $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1\ [p]$. **2- أ)** نستدل بالخلف: إذا كان $p \mid x$ فإن $x^2 \equiv 0\ [p]$. - ومع $x^2 \equiv 2\ [p]$ نحصل على $p \mid 2$، وهذا غير ممكن لأن $p$ أولي فردي. - إذن $p \nmid x$، وبما أن $p$ أولي فإن $p \wedge x = 1$. **2- ب)** حسب مبرهنة فيرما ($p$ أولي و $p \wedge x = 1$): $x^{p-1} \equiv 1\ [p]$. - لدينا $x^{p-1} = (x^2)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 2^{\frac{p-1}{2}}\ [p]$. - إذن $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1\ [p]$. **3)** ليكن $k \in \{1, \dots, p-1\}$. - لدينا $kC_p^k = pC_{p-1}^{k-1}$، إذن $p \mid kC_p^k$. - وبما أن $1 \le k \le p-1$ و $p$ أولي، فإن $p \wedge k = 1$. - حسب مبرهنة Gauss: $p \mid C_p^k$. **4- أ)** $1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$. حسب صيغة موافر: $$(1+i)^p = 2^{\frac{p}{2}}e^{i\frac{p\pi}{4}} = 2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\frac{\pi}{4}\right) + i\,2^{\frac{p}{2}}\sin\left(p\frac{\pi}{4}\right)$$ **4- ب)** بمطابقة الجزأين الحقيقيين: $$2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\frac{\pi}{4}\right) = \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^kC_p^{2k} \in \mathbb{Z}$$ - الحد الموافق لـ $k = 0$ هو $C_p^0 = 1$. - لكل $k \in \{1, \dots, \frac{p-1}{2}\}$، لدينا $2 \le 2k \le p - 1$، إذن $p \mid C_p^{2k}$ حسب السؤال 3. - ومنه $2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\frac{\pi}{4}\right) \equiv 1\ [p]$. **5)** نفترض $p \equiv 5\ [8]$، أي $p = 8m + 5$ مع $m \in \mathbb{N}$. - **حساب جيب التمام:** $\frac{p\pi}{4} = 2m\pi + \frac{5\pi}{4}$، إذن $\cos\frac{p\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$، ومنه: $$2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\frac{\pi}{4}\right) = -2^{\frac{p}{2}}\cdot 2^{-\frac{1}{2}} = -2^{\frac{p-1}{2}}$$ - **الاستنتاج:** حسب 4-ب، $-2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1\ [p]$، أي $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1\ [p]$. - **الخلاصة:** لو قبلت $(E)$ حلاً، لكان حسب 2-ب $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1\ [p]$، فنحصل على $1 \equiv -1\ [p]$، أي $p \mid 2$، وهذا تناقض. إذن $(E)$ لا تقبل حلاً في $\mathbb{Z}$. --- ## التمرين 5: البنيات الجبرية الدروس المطلوبة: الزمر والحلقات والأجسام، الفضاءات المتجهية، التشاكل. نلاحظ أن $M(x,y) = xI + yJ$ مع $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$، ولدينا $J^2 = 3I$. ### الجزء I **1)** $E \subset M_2(\mathbb{R})$ و $E \ne \emptyset$، لأن $O = M(0,0) \in E$. - لكل $(x,y), (x',y')$: $M(x,y) - M(x',y') = M(x - x', y - y') \in E$. - إذن $E$ زمرة جزئية للزمرة $(M_2(\mathbb{R}), +)$. **2)** لكل $\lambda \in \mathbb{R}$: $\lambda M(x,y) = M(\lambda x, \lambda y) \in E$. - مع 1، $E$ فضاء متجهي جزئي. - (وهو أيضاً $E = \text{Vect}(I, J)$.) **3- أ)** بالحساب المباشر: - المعامل (1,1): $(x+y)(x'+y') + 2yy' = xx' + 3yy' + (xy' + yx')$ - المعامل (1,2): $(x+y)y' + y(x'-y') = xy' + yx'$ - المعامل (2,1): $2y(x'+y') + 2y'(x-y) = 2(xy' + yx')$ - المعامل (2,2): $2yy' + (x-y)(x'-y') = xx' + 3yy' - (xy' + yx')$ إذن $M(x,y) \times M(x',y') = M(xx' + 3yy', xy' + yx')$. (أو مباشرة: $(xI + yJ)(x'I + y'J) = xx'I + (xy' + yx')J + yy'J^2$ مع $J^2 = 3I$.) **3- ب)** نتحقق من خاصيات الحلقة التبادلية الواحدية: - $(E, +)$ زمرة تبادلية (زمرة جزئية لزمرة تبادلية). - $\times$ قانون تركيب داخلي في $E$ حسب 3-أ. - $\times$ تجميعي وتوزيعي بالنسبة لـ $+$ في $E$، لأنه كذلك في $M_2(\mathbb{R})$. - $\times$ تبادلي في $E$، لأن الصيغة 3-أ متماثلة بالنسبة لـ $(x,y)$ و $(x',y')$. - $I = M(1,0) \in E$ عنصر محايد. إذن $(E, +, \times)$ حلقة تبادلية وواحدية. **4- أ)** $M(\sqrt{3}, 1) \times M(-\sqrt{3}, 1) = M(-3 + 3, \sqrt{3} - \sqrt{3}) = M(0,0) = O$. **4- ب)** $M(\sqrt{3}, 1) \ne O$ و $M(-\sqrt{3}, 1) \ne O$، وجداؤهما منعدم: لـ $E$ قواسم للصفر. - لو كانت $M(\sqrt{3},1)$ قابلة للعكس في $E$، لحصلنا بضرب طرفي 4-أ في مقلوبها على $M(-\sqrt{3},1) = O$، وهذا تناقض. - إذن $(E, +, \times)$ ليس جسماً. ### الجزء II **1)** ليكن $(x,y) \in \mathbb{Q}^2$ بحيث $x + y\sqrt{3} = 0$. - إذا كان $y \ne 0$ فإن $\sqrt{3} = -\frac{x}{y} \in \mathbb{Q}$، وهذا غير ممكن لأن $\sqrt{3}$ عدد لاجذري. - إذن $y = 0$، ومنه $x = 0$. - العكس بديهي. **2)** نتحقق من شروط الزمرة الجزئية: - **الاحتواء:** حسب 1، $F - \{0\} = \{x + y\sqrt{3}\ /\ (x,y) \in \mathbb{Q}^2 - \{(0,0)\}\} \subset \mathbb{R}^*$، ويحتوي على $1$. - **الاستقرار بالضرب:** $(x + y\sqrt{3})(x' + y'\sqrt{3}) = (xx' + 3yy') + (xy' + yx')\sqrt{3} \in F$، وهو غير منعدم لأنه جداء عددين حقيقيين غير منعدمين. - **المقلوب:** $\dfrac{1}{x + y\sqrt{3}} = \dfrac{x - y\sqrt{3}}{x^2 - 3y^2}$، مع $x^2 - 3y^2 = (x + y\sqrt{3})(x - y\sqrt{3}) \ne 0$ حسب 1. إذن المقلوب يساوي $\dfrac{x}{x^2-3y^2} + \dfrac{-y}{x^2-3y^2}\sqrt{3} \in F - \{0\}$. إذن $F - \{0\}$ زمرة جزئية للزمرة $(\mathbb{R}^*, \times)$. **3- أ)** التطبيق $\varphi$ معرف جيداً، لأن الكتابة $x + y\sqrt{3}$ وحيدة حسب 1. - لدينا $\varphi(F - \{0\}) = \{M(x,y)\ /\ (x,y) \in \mathbb{Q}^2 - \{(0,0)\}\}$. - وبما أن $M(x,y) = O \iff x = y = 0$، فإن $\varphi(F - \{0\}) = G - \{O\}$. **3- ب)** $$\varphi\big((x + y\sqrt{3})(x' + y'\sqrt{3})\big) = \varphi\big((xx' + 3yy') + (xy' + yx')\sqrt{3}\big) = M(xx' + 3yy', xy' + yx') = \varphi(x + y\sqrt{3}) \times \varphi(x' + y'\sqrt{3})$$ إذن $\varphi$ تشاكل. **3- ج)** صورة زمرة تبادلية بتشاكل هي زمرة تبادلية. - إذن $\varphi(F - \{0\}) = G - \{O\}$ زمرة تبادلية بالنسبة لـ $\times$. **4)** نتحقق من شروط الجسم التبادلي: - **$(G, +)$ زمرة جزئية لـ $(E, +)$:** لأن $M(x,y) - M(x',y') = M(x-x', y-y')$ مع إحداثيات جذرية. - **الاستقرار بالضرب:** $G$ مستقرة بالنسبة لـ $\times$ حسب 3-أ، لأن إحداثيات الجداء جذرية. - **الحلقة:** $I = M(1,0) \in G$، فـ $(G, +, \times)$ حلقة جزئية تبادلية وواحدية لـ $(E, +, \times)$. - **قابلية العكس:** حسب 3-ج، $(G - \{O\}, \times)$ زمرة، أي كل عنصر غير منعدم من $G$ يقبل مقلوباً في $G$. إذن $(G, +, \times)$ جسم تبادلي. --- > **تنبيه:** هذا حل مقترح للمراجعة وليس تصحيحاً رسمياً. للتحقق، راجع الدروس المذكورة وعناصر الإجابة الرسمية الصادرة عن المركز الوطني للتقويم والامتحانات.