الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا 2023 - الدورة العادية - الرياضيات - العلوم التجريبية (علوم الحياة والأرض والعلوم الفيزيائية) خيار فرنسية BIOF

### Examen National Unifié du Baccalauréat — Session normale 2023 **Matière :** Mathématiques — **Filières :** Sciences de la Vie et de la Terre et Sciences Physiques (option française) — **Code :** NS 22F **Durée :** 3 h — **Coefficient :** 7 --- ### Instructions générales - L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée. - Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient. - L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter. L'épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux : - Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (3 points) - Exercice 2 : Nombres complexes (3 points) - Exercice 3 : Calcul des probabilités (3 points) - Problème : Étude de fonctions numériques, calcul intégral et suites numériques (11 points) On désigne par $\bar{z}$ le conjugué du nombre complexe $z$ et par $|z|$ son module ; $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. --- ### Exercice 1 (3 points) Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(0,1,4)$, $B(2,1,2)$, $C(2,5,0)$ et $\Omega(3,4,4)$. 1. **a) (0,25 pt)** Montrer que $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 4\left(2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}\right)$. **b) (0,5 pt)** En déduire l'aire du triangle $ABC$ et la distance $d\big(B, (AC)\big)$. 2. Soit $D$ le milieu du segment $[AC]$. **a) (0,25 pt)** Vérifier que $\overrightarrow{D\Omega} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)$. **b) (0,5 pt)** En déduire que $d\big(\Omega, (ABC)\big) = 3$. 3. Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 8z + 32 = 0$. **a) (0,5 pt)** Déterminer le centre et le rayon de la sphère $(S)$. **b) (0,5 pt)** Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ en un point que l'on déterminera. 4. **(0,5 pt)** Soient $(Q_1)$ et $(Q_2)$ les deux plans parallèles à $(ABC)$ tels que chacun d'eux coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $\sqrt{5}$. Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans $(Q_1)$ et $(Q_2)$. --- ### Exercice 2 (3 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $$a = \sqrt{2} + i\sqrt{2}, \quad b = 1 + \sqrt{2} + i, \quad c = \bar{b} \quad \text{et} \quad d = 2i$$ 1. **(0,25 pt)** Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique. 2. **a) (0,25 pt)** Vérifier que $b - d = c$. **b) (0,5 pt)** Montrer que $(\sqrt{2} + 1)(b - a) = b - d$ et déduire que les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés. 3. **a) (0,25 pt)** Vérifier que $ac = 2b$. **b) (0,5 pt)** En déduire que $2\arg(b) \equiv \frac{\pi}{4} \; [2\pi]$. 4. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$ qui transforme chaque point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$. **a) (0,25 pt)** Montrer que $z' = \frac{1}{2} a z$. **b) (0,5 pt)** En déduire que $R(C) = B$ et que $R(A) = D$. **c) (0,5 pt)** Montrer que $\dfrac{b - a}{c - a} = \left(\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) a$, puis déduire une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}\right)$. --- ### Exercice 3 (3 points) Une urne $U_1$ contient six boules portant les nombres : $0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2$ et une urne $U_2$ contient cinq boules portant les nombres : $1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2$. Les boules sont indiscernables au toucher. On considère l'expérience aléatoire suivante : « On tire une boule de l'urne $U_1$ et on note le nombre $a$ qu'elle porte, puis on la met dans l'urne $U_2$, ensuite on tire une boule de l'urne $U_2$ et on note le nombre $b$ qu'elle porte ». On considère les événements : $A$ : « la boule tirée de l'urne $U_1$ porte le nombre 1 » et $B$ : « le produit $ab$ est égal à 2 ». 1. **a) (0,5 pt)** Calculer $p(A)$. **b) (0,5 pt)** Montrer que $p(B) = \frac{1}{4}$ (on peut utiliser l'arbre des possibilités). 2. **(0,75 pt)** Calculer $p(A/B)$, probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé. 3. Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience le produit $ab$. **a) (0,25 pt)** Montrer que $p(X = 0) = \frac{1}{3}$. **b) (0,5 pt)** Donner la loi de probabilité de $X$ (remarquer que les valeurs prises par $X$ sont : $0 ; 1 ; 2$ et $4$). **c) (0,5 pt)** On considère les événements $M$ : « le produit $ab$ est pair non nul » et $N$ : « le produit $ab$ est égal à 1 ». Montrer que les événements $M$ et $N$ sont équiprobables. --- ### Problème (11 points) On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $$f(x) = 2 - \frac{2}{x} + (1 - \ln x)^2$$ Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm). 1. **a) (0,25 pt)** Vérifier que pour tout $x \in\, ]0, +\infty[$ : $f(x) = \dfrac{3x - 2 - 2x\ln x + x(\ln x)^2}{x}$. **b) (0,5 pt)** Montrer que $\lim\limits_{x \to 0^+} x(\ln x)^2 = 0$ et que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x} = 0$ (on peut poser $t = \sqrt{x}$). **c) (0,5 pt)** Déduire que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$, puis donner une interprétation géométrique du résultat. **d) (0,75 pt)** Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$, puis montrer que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$. 2. **(0,5 pt)** Montrer que pour tout $x \in\, ]0, +\infty[$ : $f'(x) = \dfrac{2(1 - x + x\ln x)}{x^2}$. 3. Le sujet donne le tableau de variations de $f'$ sur $]0,+\infty[$ : $f'$ est décroissante de $+\infty$ à $0$ sur $]0, 1]$, croissante sur $[1, \beta]$ puis décroissante sur $[\beta, +\infty[$ avec $\lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = 0$ (on donne $\beta \approx 4{,}9$). **a) (0,5 pt)** Prouver que $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ puis dresser le tableau de variations de $f$. **b) (0,5 pt)** Donner le tableau de signe de la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sur $]0, +\infty[$. **c) (1 pt)** Déduire la concavité de la courbe $(C_f)$ en précisant les abscisses de ses deux points d'inflexion. 4. Le sujet donne la courbe $(C_g)$ de la fonction $g : x \mapsto f(x) - x$, qui s'annule en $\alpha$ et en $1$ (avec $\alpha \approx 0{,}3$), positive entre $\alpha$ et $1$. Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y = x$. **a) (0,5 pt)** À partir de la courbe $(C_g)$, déterminer le signe de la fonction $g$ sur $]0, +\infty[$. **b) (0,5 pt)** Déduire que la droite $(\Delta)$ est en dessous de $(C_f)$ sur l'intervalle $[\alpha, 1]$ et au-dessus de $(C_f)$ sur les intervalles $]0, \alpha]$ et $[1, +\infty[$. 5. **(1,5 pt)** Construire la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (on prend $\alpha \approx 0{,}3$, $\beta \approx 4{,}9$ et $f(\beta) \approx 1{,}9$). 6. **a) (0,5 pt)** Vérifier que la fonction $x \mapsto 2x - x\ln x$ est une primitive de la fonction $x \mapsto 1 - \ln x$ sur $[\alpha, 1]$. **b) (1 pt)** En utilisant une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{\alpha}^{1} (1 - \ln x)^2\,dx = 5(1 - \alpha) + \alpha(4 - \ln\alpha)\ln\alpha$. **c) (0,75 pt)** Déduire, en fonction de $\alpha$, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \alpha$ et $x = 1$. 7. Soit la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0 \in\, ]\alpha, 1[$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. **a) (0,5 pt)** Montrer par récurrence que $\alpha < u_n < 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. **b) (0,5 pt)** Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante (on peut utiliser la question 4)b)). **c) (0,75 pt)** En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite. > Le tableau de variations de $f'$ et la courbe $(C_g)$ figurent dans le sujet officiel (graphiques non reproduits ici). ### الأشكال  

### Exercice 1 — Géométrie dans l'espace Leçons requises : produit vectoriel, distance d'un point à une droite et à un plan, équation de la sphère, position relative plan/sphère. **1.a)** $\overrightarrow{AB}(2, 0, -2)$ et $\overrightarrow{AC}(2, 4, -4)$, donc $$\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \big(0\cdot(-4) - (-2)\cdot 4\big)\vec{i} - \big(2\cdot(-4) - (-2)\cdot 2\big)\vec{j} + \big(2\cdot 4 - 0\cdot 2\big)\vec{k} = 8\vec{i} + 4\vec{j} + 8\vec{k} = 4\left(2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}\right).$$ **1.b)** $\left\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right\| = 4\sqrt{4 + 1 + 4} = 12$, donc l'aire du triangle est $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ (unités d'aire). Comme $AC = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$ : $d\big(B, (AC)\big) = \dfrac{\left\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right\|}{AC} = \dfrac{12}{6} = 2$. **2.a)** $D$ milieu de $[AC]$ : $D(1, 3, 2)$, donc $\overrightarrow{D\Omega}(2, 1, 2) = \frac{1}{4}(8, 4, 8) = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)$. **2.b)** $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ est normal au plan $(ABC)$, donc $\overrightarrow{D\Omega}$ aussi ; et $D \in (ABC)$. Ainsi $D$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$ et $$d\big(\Omega, (ABC)\big) = D\Omega = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3.$$ **3.a)** $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 8z + 32 = 0 \iff (x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-4)^2 = 9 + 16 + 16 - 32 = 9$. $(S)$ est la sphère de centre $\Omega(3, 4, 4)$ et de rayon $R = 3$. **3.b)** $d\big(\Omega, (ABC)\big) = 3 = R$ : le plan $(ABC)$ est tangent à $(S)$, au projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$, c'est-à-dire au point $D(1, 3, 2)$. **4)** $(Q_1)$ et $(Q_2)$ sont parallèles à $(ABC)$, donc de vecteur normal $\vec{n}(2, 1, 2)$ : équation $2x + y + 2z + m = 0$. Un plan à la distance $h$ de $\Omega$ coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $r = \sqrt{R^2 - h^2}$. Ici $r = \sqrt{5}$ donc $h^2 = 9 - 5 = 4$, $h = 2$ : $$\frac{|2\cdot 3 + 4 + 2\cdot 4 + m|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 2 \iff |18 + m| = 6 \iff m = -12 \text{ ou } m = -24.$$ Donc $(Q_1) : 2x + y + 2z - 12 = 0$ et $(Q_2) : 2x + y + 2z - 24 = 0$. --- ### Exercice 2 — Nombres complexes Leçons requises : forme trigonométrique, conjugué, argument, alignement, écriture complexe d'une rotation. **1)** $|a| = \sqrt{2 + 2} = 2$ et $a = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$. **2.a)** $b - d = 1 + \sqrt{2} + i - 2i = 1 + \sqrt{2} - i = \bar{b} = c$. **2.b)** $b - a = 1 + i(1 - \sqrt{2})$, donc $$(\sqrt{2} + 1)(b - a) = (\sqrt{2} + 1) + i(\sqrt{2} + 1)(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} + 1 - i = b - d.$$ Ainsi $\overrightarrow{DB} = (\sqrt{2} + 1)\overrightarrow{AB}$ avec $\sqrt{2} + 1 \in \mathbb{R}$ : les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés. **3.a)** $ac = (\sqrt{2} + i\sqrt{2})(1 + \sqrt{2} - i) = \sqrt{2} + 2 - i\sqrt{2} + i\sqrt{2} + 2i + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} + 2i = 2b$. **3.b)** $\arg(ac) \equiv \arg(a) + \arg(\bar{b}) \equiv \frac{\pi}{4} - \arg(b)\; [2\pi]$ et $\arg(2b) \equiv \arg(b)\; [2\pi]$. Donc $\arg(b) \equiv \frac{\pi}{4} - \arg(b)\; [2\pi]$, soit $2\arg(b) \equiv \frac{\pi}{4}\; [2\pi]$. **4.a)** L'écriture complexe de $R$ est $z' = e^{i\pi/4} z$. Or $e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{2}$, donc $z' = \frac{1}{2} a z$. **4.b)** $\frac{1}{2} a c = \frac{1}{2} \times 2b = b$, donc $R(C) = B$. $\frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(2 + 4i - 2) = 2i = d$, donc $R(A) = D$. **4.c)** $b - a = 1 + i(1 - \sqrt{2})$ et $c - a = 1 - i(1 + \sqrt{2})$. En multipliant par le conjugué du dénominateur : $$\frac{b - a}{c - a} = \frac{\big(1 + i(1 - \sqrt{2})\big)\big(1 + i(1 + \sqrt{2})\big)}{1 + (1 + \sqrt{2})^2} = \frac{1 + 2i - (1 - 2)}{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{2(1 + i)}{2(2 + \sqrt{2})} = \frac{1 + i}{2 + \sqrt{2}}.$$ Comme $1 + i = \frac{a}{\sqrt{2}}$ : $\dfrac{b - a}{c - a} = \dfrac{a}{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})} = \dfrac{a}{2(\sqrt{2} + 1)} = \left(\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) a$. Puisque $\frac{\sqrt{2} - 1}{2} > 0$ : $\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}\right) \equiv \arg\left(\frac{b - a}{c - a}\right) \equiv \arg(a) \equiv \frac{\pi}{4}\; [2\pi]$. --- ### Exercice 3 — Probabilités Leçons requises : probabilités conditionnelles, arbre de probabilités, variable aléatoire et loi de probabilité. Après le premier tirage, l'urne $U_2$ contient **6** boules (les 5 initiales plus la boule tirée de $U_1$). **1.a)** $U_1$ contient trois boules portant 1 sur six : $p(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. **1.b)** $ab = 2$ si ($a = 1$ et $b = 2$) ou ($a = 2$ et $b = 1$) : - si $a = 1$, $U_2$ contient $1;1;1;1;2;2$ : $p = \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$ ; - si $a = 2$, $U_2$ contient $1;1;1;2;2;2$ : $p = \frac{1}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{12}$. Donc $p(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$. **2)** $A \cap B$ : « $a = 1$ et $b = 2$ », donc $p(A \cap B) = \frac{1}{6}$ et $p(A/B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{1/6}{1/4} = \dfrac{2}{3}$. **3.a)** $X = 0 \iff a = 0$ : $p(X = 0) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. **3.b)** - $p(X = 0) = \frac{1}{3}$ - $p(X = 1) = p(a = 1 \text{ et } b = 1) = \frac{3}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{1}{3}$ - $p(X = 2) = p(B) = \frac{1}{4}$ - $p(X = 4) = p(a = 2 \text{ et } b = 2) = \frac{1}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{12}$ Vérification : $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 4 + 3 + 1}{12} = 1$. **3.c)** $M = (X = 2) \cup (X = 4)$ donc $p(M) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$ ; $N = (X = 1)$ donc $p(N) = \frac{1}{3}$. Ainsi $p(M) = p(N)$ : $M$ et $N$ sont équiprobables. --- ### Problème — Fonctions, intégrales et suites Leçons requises : fonction logarithme népérien et limites usuelles, dérivation et dérivée seconde (concavité, points d'inflexion), intégration par parties et calcul d'aires, suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$. **1.a)** $f(x) = 2 - \frac{2}{x} + 1 - 2\ln x + (\ln x)^2 = \dfrac{3x - 2 - 2x\ln x + x(\ln x)^2}{x}$. **1.b)** Avec $t = \sqrt{x}$ ($x = t^2$, $\ln x = 2\ln t$) : - $x(\ln x)^2 = t^2 \cdot 4(\ln t)^2 = 4(t\ln t)^2 \to 0$ quand $x \to 0^+$ (car $t \to 0^+$ et $\lim_{t \to 0^+} t\ln t = 0$) ; - $\dfrac{(\ln x)^2}{x} = \dfrac{4(\ln t)^2}{t^2} = 4\left(\dfrac{\ln t}{t}\right)^2 \to 0$ quand $x \to +\infty$ (car $\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t} = 0$). **1.c)** Quand $x \to 0^+$ : $3x \to 0$, $x\ln x \to 0$ et $x(\ln x)^2 \to 0$, donc le numérateur tend vers $-2$ et le dénominateur vers $0^+$ : $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. Interprétation : la droite d'équation $x = 0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale à $(C_f)$. **1.d)** $\lim\limits_{x \to +\infty}\left(2 - \frac{2}{x}\right) = 2$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}(1 - \ln x)^2 = +\infty$, donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. De plus $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{(1 - \ln x)^2}{x} = \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2\ln x}{x} + \dfrac{(\ln x)^2}{x} \to 0$. Donc $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$. **2)** $f'(x) = \dfrac{2}{x^2} + 2(1 - \ln x)\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{2 - 2x(1 - \ln x)}{x^2} = \dfrac{2(1 - x + x\ln x)}{x^2}$. **3.a)** D'après le tableau de $f'$ : sur $]0, 1]$, $f'$ décroît vers $f'(1) = 0$ donc $f'(x) \geq 0$ ; sur $[1, +\infty[$, $f'$ croît de $0$ jusqu'à $f'(\beta)$ puis décroît vers $0$ sans l'atteindre, donc $f'(x) > 0$ pour $x > 1$. Ainsi $f' \geq 0$ et ne s'annule qu'en $x = 1$ : **$f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$**, de $-\infty$ (en $0^+$) à $+\infty$, avec $f(1) = 1$. **3.b)** $f''$ est la dérivée de $f'$ : $f''(x) < 0$ sur $]0, 1[$ (f' décroissante), $f''(x) > 0$ sur $]1, \beta[$ (f' croissante), $f''(x) < 0$ sur $]\beta, +\infty[$ (f' décroissante), et $f''(1) = f''(\beta) = 0$. **3.c)** $(C_f)$ est concave sur $]0, 1]$, convexe sur $[1, \beta]$, concave sur $[\beta, +\infty[$. $f''$ s'annule en changeant de signe en $1$ et en $\beta$ : les points d'inflexion ont pour abscisses $1$ (point $I(1, 1)$) et $\beta$ (point $J(\beta, f(\beta))$). **4.a)** Lecture de $(C_g)$ : $g(x) < 0$ sur $]0, \alpha[$, $g(x) > 0$ sur $]\alpha, 1[$, $g(x) < 0$ sur $]1, +\infty[$, et $g(\alpha) = g(1) = 0$. **4.b)** $g(x) = f(x) - x$ : - sur $[\alpha, 1]$, $g(x) \geq 0$ donc $f(x) \geq x$ : $(\Delta)$ est en dessous de $(C_f)$ ; - sur $]0, \alpha]$ et $[1, +\infty[$, $g(x) \leq 0$ donc $f(x) \leq x$ : $(\Delta)$ est au-dessus de $(C_f)$. $(C_f)$ et $(\Delta)$ se coupent aux points d'abscisses $\alpha$ et $1$. **5)** Pour le tracé : asymptote verticale $x = 0$ ; points d'intersection avec $(\Delta)$ : $(\alpha, \alpha) \approx (0{,}3\,;\,0{,}3)$ et $(1, 1)$ ; points d'inflexion $I(1, 1)$, où la tangente est horizontale car $f'(1) = 0$, et $J(4{,}9\,;\,1{,}9)$ ; branche parabolique horizontale vers $+\infty$. **6.a)** $(2x - x\ln x)' = 2 - \left(\ln x + x \cdot \frac{1}{x}\right) = 1 - \ln x$. C'est donc bien une primitive de $1 - \ln x$. **6.b)** On pose $u(x) = (1 - \ln x)^2$, $u'(x) = -\frac{2}{x}(1 - \ln x)$, $v'(x) = 1$, $v(x) = x$ : $$\int_{\alpha}^{1} (1 - \ln x)^2\,dx = \Big[x(1 - \ln x)^2\Big]_{\alpha}^{1} + 2\int_{\alpha}^{1} (1 - \ln x)\,dx = 1 - \alpha(1 - \ln\alpha)^2 + 2\Big[2x - x\ln x\Big]_{\alpha}^{1}.$$ $$= 1 - \alpha + 2\alpha\ln\alpha - \alpha(\ln\alpha)^2 + 4 - 4\alpha + 2\alpha\ln\alpha = 5(1 - \alpha) + \alpha(4 - \ln\alpha)\ln\alpha.$$ **6.c)** Sur $[\alpha, 1]$, $f$ est croissante et $f(\alpha) = \alpha > 0$, donc $f \geq 0$. L'aire (unité $1\,\text{cm}^2$) vaut : $$\int_{\alpha}^{1} f(x)\,dx = \Big[2x - 2\ln x\Big]_{\alpha}^{1} + \int_{\alpha}^{1} (1 - \ln x)^2\,dx = 2 - 2\alpha + 2\ln\alpha + 5(1 - \alpha) + \alpha(4 - \ln\alpha)\ln\alpha.$$ $$\mathcal{A} = \Big(7(1 - \alpha) + (2 + 4\alpha - \alpha\ln\alpha)\ln\alpha\Big)\ \text{cm}^2.$$ **7.a)** Pour $n = 0$ : $\alpha < u_0 < 1$ par hypothèse. Supposons $\alpha < u_n < 1$. Comme $f$ est strictement croissante : $f(\alpha) < f(u_n) < f(1)$, soit $\alpha < u_{n+1} < 1$ (car $f(\alpha) = \alpha$ et $f(1) = 1$, puisque $g(\alpha) = g(1) = 0$). Par récurrence, $\alpha < u_n < 1$ pour tout $n$. **7.b)** Pour tout $n$, $u_n \in\, ]\alpha, 1[$ et, d'après 4.b), $f(x) \geq x$ sur $[\alpha, 1]$. Donc $u_{n+1} = f(u_n) \geq u_n$ : la suite est croissante. **7.c)** $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$, donc convergente. Sa limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ (car $f$ est continue sur $[\alpha, 1]$ et $f([\alpha, 1]) = [\alpha, 1]$), donc $\ell = \alpha$ ou $\ell = 1$. Or $u_n \geq u_0 > \alpha$ pour tout $n$, donc $\ell \geq u_0 > \alpha$. Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$.