الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا 2023 - الدورة العادية - الرياضيات - مسلك العلوم الاقتصادية ومسلك علوم التدبير المحاسباتي (باللغة الفرنسية)

### Examen national du baccalauréat — Session normale 2023 — Sujet **Matière :** Mathématiques — **Filières :** Sciences Économiques et Sciences de Gestion Comptable (en langue française) — **Code :** NS 26F **Durée :** 2 h — **Coefficient :** 4 --- ### Exercice n°1 (2 pts) Soit $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = \dfrac{2}{7}w_n + 1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. 1. Montrer par récurrence que $w_n < \dfrac{7}{5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. **(1 pt)** 2. - a. Montrer que $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite croissante. **(0,5 pt)** - b. La suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse. **(0,5 pt)** ### Exercice n°2 (3 pts) Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{3 + 7u_n}{7 + 3u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. 1. Calculer $u_1$ et $u_2$. **(0,5 pt)** 2. On pose $v_n = \dfrac{1 - u_n}{1 + u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. - a. Calculer $v_0$. **(0,25 pt)** - b. Montrer que $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$. **(1 pt)** - c. En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $v_n = \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$. **(0,25 pt)** 3. - a. Vérifier que $u_n = \dfrac{1 - v_n}{1 + v_n}$. **(0,5 pt)** - b. En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n = \dfrac{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n}{1 + \left(\frac{2}{5}\right)^n}$. **(0,25 pt)** - c. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$. **(0,25 pt)** ### Exercice n°3 (1 pt) $(\Omega ; p)$ est un espace probabilisé fini. On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux événements de $\Omega$ alors $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$. Soit $A$ et $B$ deux événements **indépendants** tels que : $p(A) = \dfrac{1}{2}$ et $p(A \cup B) = \dfrac{5}{8}$. Calculer $p(B)$. **(1 pt)** ### Exercice n°4 (3 pts) Une urne contient cent jetons indiscernables au toucher de couleur soit blanche soit noire et portant soit le chiffre 1 soit le chiffre 2. La répartition de ces jetons est donnée par le tableau suivant : | Chiffre \ Couleur | Blanche | Noire | Total | |---|---|---|---| | 1 | 50 | 16 | 66 | | 2 | 14 | 20 | 34 | | Total | 64 | 36 | 100 | On tire au hasard un jeton de l'urne. 1. Calculer les probabilités suivantes : - a. La probabilité $p_1$ pour que le jeton soit de couleur blanche. **(0,5 pt)** - b. La probabilité $p_2$ pour que le jeton porte le chiffre 2. **(0,5 pt)** - c. La probabilité $p_3$ pour que le jeton porte le chiffre 2 et soit de couleur blanche. **(0,5 pt)** 2. La probabilité $p_4$ pour que le jeton tiré porte le chiffre 2 sachant qu'il est de couleur blanche. **(0,5 pt)** 3. On considère la variable aléatoire $X$ qui est égale au chiffre porté par le jeton. - a. Copier et compléter le tableau suivant : **(0,5 pt)** | $x_i$ | 1 | 2 | |---|---|---| | $p(X = x_i)$ | | | - b. Calculer $E(X)$ l'espérance mathématique de $X$. **(0,5 pt)** ### Exercice n°5 (2,5 pts) 1. Calculer les limites suivantes : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x} - \ln x\right)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x} + \ln x\right)$ **(1,5 pt)** 2. On rappelle que si $f$ est une fonction dérivable en $x_0$ alors $\displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\ln x}{x - 1}$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{x}{x - 1} \times \ln x\right)$ **(1 pt)** ### Exercice n°6 (8,5 pts) On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 1 - \dfrac{x}{e^x}$ et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$. 1. - a. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et donner une interprétation géométrique du résultat. **(1 pt)** - b. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}$ puis donner une interprétation géométrique du résultat. **(1,5 pt)** 2. - a. Montrer que $f'(x) = \dfrac{x - 1}{e^x}$. **(0,5 pt)** - b. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. **(1 pt)** - c. Donner l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse 0. **(1 pt)** 3. Calculer $f''(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ et montrer que la courbe $(C_f)$ admet un point d'inflexion d'abscisse 2. **(1,5 pt)** 4. Dans la figure du sujet, $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ et $(\Delta)$ la droite d'équation $y = 1$ dans le repère orthonormé $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$ (la partie hachurée est comprise entre $(\Delta)$ et $(C_f)$ pour $0 \le x \le 1$). - a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx = \frac{e - 2}{e}$. **(1 pt)** - b. En déduire l'aire de la partie hachurée. **(1 pt)**

## Corrigé proposé — Mathématiques, Sciences Économiques et Gestion Comptable, session normale 2023 (NS 26F) > Corrigé proposé pour la révision, rédigé après lecture du sujet officiel. --- ### Exercice n°1 — suite arithmético-géométrique Leçons requises : suites numériques, raisonnement par récurrence, suites monotones et bornées. **1.** Récurrence. - **Initialisation :** $w_0 = 1 < \frac{7}{5}$. - **Hérédité :** si $w_n < \frac{7}{5}$, alors $\frac{2}{7}w_n < \frac{2}{5}$, donc $w_{n+1} = \frac{2}{7}w_n + 1 < \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$. - **Conclusion :** pour tout $n$, $w_n < \frac{7}{5}$. **2.a.** $w_{n+1} - w_n = 1 - \frac{5}{7}w_n = \frac{5}{7}\left(\frac{7}{5} - w_n\right) > 0$ d'après 1. La suite est donc croissante. **2.b.** Oui : $(w_n)$ est croissante et majorée par $\frac{7}{5}$, donc elle est convergente. (Sa limite $\ell$ vérifie $\ell = \frac{2}{7}\ell + 1$, d'où $\ell = \frac{7}{5}$.) ### Exercice n°2 — suite homographique Leçons requises : suites géométriques, limite de $q^n$ pour $|q| < 1$. **1.** $$u_1 = \frac{3 + 0}{7 + 0} = \frac{3}{7} \quad ; \quad u_2 = \frac{3 + 7\cdot\frac{3}{7}}{7 + 3\cdot\frac{3}{7}} = \frac{6}{\frac{58}{7}} = \frac{21}{29}$$ **2.a.** $v_0 = \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1$. **2.b.** - On calcule séparément le numérateur et le dénominateur de $v_{n+1}$ : $$1 - u_{n+1} = \frac{7 + 3u_n - 3 - 7u_n}{7 + 3u_n} = \frac{4(1 - u_n)}{7 + 3u_n} \quad ; \quad 1 + u_{n+1} = \frac{10(1 + u_n)}{7 + 3u_n}$$ - Donc : $$v_{n+1} = \frac{4(1 - u_n)}{10(1 + u_n)} = \frac{2}{5}v_n$$ - Conclusion : $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{2}{5}$. - Remarque : $u_n \ge 0$ pour tout $n$ (récurrence immédiate), donc $1 + u_n \ne 0$ et $7 + 3u_n \ne 0$. **2.c.** $v_n = v_0\left(\frac{2}{5}\right)^n = \left(\frac{2}{5}\right)^n$. **3.a.** - De $v_n = \dfrac{1 - u_n}{1 + u_n}$, on tire $v_n + v_nu_n = 1 - u_n$, soit $u_n(1 + v_n) = 1 - v_n$. - Comme $v_n > 0$, on a $1 + v_n \ne 0$, d'où $u_n = \dfrac{1 - v_n}{1 + v_n}$. **3.b.** On remplace $v_n$ par son expression : $u_n = \dfrac{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n}{1 + \left(\frac{2}{5}\right)^n}$. **3.c.** Comme $0 < \frac{2}{5} < 1$, on a $\lim\left(\frac{2}{5}\right)^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$. ### Exercice n°3 — événements indépendants Leçons requises : probabilités, indépendance de deux événements. - $A$ et $B$ sont indépendants, donc $p(A \cap B) = p(A)p(B) = \frac{1}{2}p(B)$. - D'où : $$\frac{5}{8} = \frac{1}{2} + p(B) - \frac{1}{2}p(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}p(B) \Rightarrow p(B) = 2\left(\frac{5}{8} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$$ ### Exercice n°4 — tableau à double entrée Leçons requises : probabilités (équiprobabilité, probabilité conditionnelle), variable aléatoire et espérance. Tirage équiprobable parmi 100 jetons. **1.a.** $p_1 = \dfrac{64}{100} = 0{,}64$ **1.b.** $p_2 = \dfrac{34}{100} = 0{,}34$ **1.c.** $p_3 = \dfrac{14}{100} = 0{,}14$ **2.** $p_4 = p(\text{« 2 »} / \text{« blanche »}) = \dfrac{p_3}{p_1} = \dfrac{14}{64} = \dfrac{7}{32} \approx 0{,}22$ **3.a.** | $x_i$ | 1 | 2 | |---|---|---| | $p(X = x_i)$ | $0{,}66$ | $0{,}34$ | **3.b.** $E(X) = 1 \times 0{,}66 + 2 \times 0{,}34 = 1{,}34$ ### Exercice n°5 — limites Leçons requises : fonction logarithme népérien, limites usuelles, nombre dérivé. **1.** - **Première limite :** $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}(-\ln x) = +\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x} - \ln x\right) = +\infty$. - **Deuxième limite :** c'est une forme indéterminée $+\infty - \infty$. On écrit $\dfrac{1}{x} + \ln x = \dfrac{1 + x\ln x}{x}$. Or $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x\ln x = 0$, donc le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers $0^+$. Ainsi $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x} + \ln x\right) = +\infty$. **2.** - **Première limite :** la fonction $\ln$ est dérivable en 1 avec $\ln 1 = 0$, donc : $$\lim_{x \to 1}\frac{\ln x}{x - 1} = \lim_{x \to 1}\frac{\ln x - \ln 1}{x - 1} = \ln'(1) = \frac{1}{1} = 1$$ - **Deuxième limite :** $\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{x}{x - 1}\ln x\right) = \lim_{x \to 1} x \times \frac{\ln x}{x - 1} = 1 \times 1 = 1$. ### Exercice n°6 — étude de $f(x) = 1 - xe^{-x}$ Leçons requises : limites et branches infinies, dérivation, convexité et point d'inflexion, intégration par parties, calcul d'aires. **1.a.** - $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{e^x} = 0$ (croissance comparée), donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x) = 1$. - **Interprétation :** la droite $(\Delta) : y = 1$ est asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$. **1.b.** - **Limite de f :** quand $x \to -\infty$, $-x \to +\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$, donc $-xe^{-x} \to +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x) = +\infty$. - **Limite de f(x)/x :** $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{1}{x} - e^{-x} \to 0 - \infty = -\infty$. - **Interprétation :** $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $-\infty$. **2.a.** $$f'(x) = -\left(e^{-x} - xe^{-x}\right) = (x - 1)e^{-x} = \frac{x - 1}{e^x}$$ **2.b.** - **Signe de f' :** $e^x > 0$, donc $f'(x)$ a le signe de $x - 1$ : - $f'(x) < 0$ sur $]-\infty, 1[$ ; - $f'(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$ ; - $f'(1) = 0$. - **Minimum :** $f(1) = 1 - \frac{1}{e} \approx 0{,}63$. | $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $1 - \frac{1}{e}$ | $\nearrow$ | $1$ | **2.c.** $f(0) = 1$ et $f'(0) = -1$, donc la tangente en 0 a pour équation $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$, soit $y = -x + 1$. **3.** - **Dérivée seconde :** $$f''(x) = e^{-x} - (x - 1)e^{-x} = (2 - x)e^{-x} = \frac{2 - x}{e^x}$$ - **Signe :** $f''(x)$ s'annule en 2 en changeant de signe : positive sur $]-\infty, 2[$, négative sur $]2, +\infty[$. - **Conclusion :** le point $I\left(2 ; 1 - \frac{2}{e^2}\right)$ est un point d'inflexion de $(C_f)$. **4.a.** - **Choix des fonctions :** $u(x) = x$ et $v'(x) = e^{-x}$, donc $u'(x) = 1$ et $v(x) = -e^{-x}$. - **Calcul :** $$\int_0^1 xe^{-x}dx = \left[-xe^{-x}\right]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}dx = -\frac{1}{e} + \left[-e^{-x}\right]_0^1 = -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 = \frac{e - 2}{e}$$ **4.b.** - **Position relative :** sur $[0, 1]$, on a $1 - f(x) = xe^{-x} \ge 0$, donc $(\Delta)$ est au-dessus de $(C_f)$. - **Aire hachurée :** $$\mathcal{A} = \int_0^1 \big(1 - f(x)\big)dx = \int_0^1 xe^{-x}dx = \frac{e - 2}{e}\ \text{u.a.} \approx 0{,}26\ \text{u.a.}$$ (L'unité d'aire est $\|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$.) --- > **Avertissement :** corrigé proposé pour la révision, ce n'est pas un corrigé officiel. Vérifiez avec les leçons citées et les éléments de réponse officiels du Centre National de l'Évaluation et des Examens.