الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا 2023 - الدورة العادية - الرياضيات - شعبة العلوم التجريبية (علوم الحياة والأرض، العلوم الفيزيائية، العلوم الزراعية)

### الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا — الدورة العادية 2023 — الموضوع **المادة:** الرياضيات — **الشعبة:** العلوم التجريبية: مسلك علوم الحياة والأرض ومسلك العلوم الفيزيائية ومسلك العلوم الزراعية — **الرمز:** NS 22 **مدة الإنجاز:** 3 ساعات — **المعامل:** 7 --- ### تعليمات عامة - يسمح باستعمال الآلة الحاسبة غير القابلة للبرمجة. - يمكن للمترشح إنجاز تمارين الامتحان حسب الترتيب الذي يناسبه. - ينبغي تجنب استعمال اللون الأحمر عند تحرير الأجوبة. يتكون الموضوع من ثلاثة تمارين ومسألة مستقلة فيما بينها: التمرين الأول: الهندسة الفضائية (3 نقط)، التمرين الثاني: الأعداد العقدية (3 نقط)، التمرين الثالث: حساب الاحتمالات (3 نقط)، المسألة: دراسة دالة عددية والحساب التكاملي والمتتاليات العددية (11 نقطة). --- ### التمرين الأول (3 نقط) في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$، نعتبر النقط $A(0,1,4)$ و $B(2,1,2)$ و $C(2,5,0)$ و $\Omega(3,4,4)$. 1. **أ) (0.25 ن)** بين أن $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 4\left(2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}\right)$. **ب) (0.5 ن)** استنتج مساحة المثلث $ABC$ والمسافة $d\big(B, (AC)\big)$. 2. لتكن $D$ منتصف القطعة $[AC]$. **أ) (0.25 ن)** تحقق أن $\overrightarrow{D\Omega} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)$. **ب) (0.5 ن)** استنتج أن $d\big(\Omega, (ABC)\big) = 3$. 3. لتكن $(S)$ الفلكة ذات المعادلة $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 8z + 32 = 0$. **أ) (0.5 ن)** حدد مركز وشعاع الفلكة $(S)$. **ب) (0.5 ن)** بين أن المستوى $(ABC)$ مماس للفلكة $(S)$ في نقطة ينبغي تحديدها. 4. **(0.5 ن)** ليكن $(Q_1)$ و $(Q_2)$ المستويين الموازيين لـ $(ABC)$ بحيث يقطع كل واحد منهما $(S)$ وفق دائرة شعاعها $\sqrt{5}$. حدد معادلة ديكارتية لكل من المستويين $(Q_1)$ و $(Q_2)$. --- ### التمرين الثاني (3 نقط) في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O, \vec{u}, \vec{v})$، نعتبر النقط $A$ و $B$ و $C$ و $D$ التي ألحاقها على التوالي: $$a = \sqrt{2} + i\sqrt{2}, \quad b = 1 + \sqrt{2} + i, \quad c = \bar{b}, \quad d = 2i$$ 1. **(0.25 ن)** اكتب العدد العقدي $a$ على الشكل المثلثي. 2. **أ) (0.25 ن)** تحقق أن $b - d = c$. **ب) (0.5 ن)** بين أن $(\sqrt{2} + 1)(b - a) = b - d$ واستنتج أن النقط $A$ و $B$ و $D$ مستقيمية. 3. **أ) (0.25 ن)** تحقق أن $ac = 2b$. **ب) (0.5 ن)** استنتج أن $2\arg(b) \equiv \frac{\pi}{4}\; [2\pi]$. 4. نعتبر الدوران $R$ الذي مركزه $O$ وزاويته $\frac{\pi}{4}$، والذي يحول كل نقطة $M$ ذات اللحق $z$ إلى النقطة $M'$ ذات اللحق $z'$. **أ) (0.25 ن)** بين أن $z' = \frac{1}{2} a z$. **ب) (0.5 ن)** استنتج أن $R(C) = B$ وأن $R(A) = D$. **ج) (0.5 ن)** بين أن $\dfrac{b - a}{c - a} = \left(\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) a$ ثم استنتج قياسا للزاوية $\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}\right)$. --- ### التمرين الثالث (3 نقط) يحتوي صندوق $U_1$ على ست كرات تحمل الأعداد: $0$ ، $0$ ، $1$ ، $1$ ، $1$ ، $2$، ويحتوي صندوق $U_2$ على خمس كرات تحمل الأعداد: $1$ ، $1$ ، $1$ ، $2$ ، $2$. نفترض أنه لا يمكن التمييز بين كرات الصندوقين باللمس. نعتبر التجربة العشوائية التالية: نسحب كرة من الصندوق $U_1$، نسجل العدد $a$ الذي تحمله، ثم نضعها في الصندوق $U_2$، وبعد ذلك نسحب كرة من الصندوق $U_2$ ونسجل العدد $b$ الذي تحمله. نعتبر الحدثين: $A$: « الكرة المسحوبة من $U_1$ تحمل العدد 1 » و $B$: « الجداء $ab$ يساوي 2 ». 1. **أ) (0.5 ن)** أحسب $p(A)$ احتمال الحدث $A$. **ب) (0.5 ن)** بين أن $p(B) = \frac{1}{4}$ (يمكن استعمال شجرة الإمكانيات). 2. **(0.75 ن)** أحسب $p(A/B)$ احتمال الحدث $A$ علما أن الحدث $B$ محقق. 3. ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل نتيجة للتجربة بالجداء $ab$. **أ) (0.25 ن)** بين أن $p(X = 0) = \frac{1}{3}$. **ب) (0.5 ن)** أعط قانون احتمال $X$ (لاحظ أن القيم التي يأخذها $X$ هي: $0$ و $1$ و $2$ و $4$). **ج) (0.5 ن)** نعتبر الحدثين: $M$: « الجداء $ab$ زوجي غير منعدم » و $N$: « الجداء $ab$ يساوي 1 ». بين أن الحدثين $M$ و $N$ متساويا الاحتمال. --- ### المسألة (11 نقطة) نعتبر الدالة العددية $f$ المعرفة على $]0, +\infty[$ بما يلي: $$f(x) = 2 - \frac{2}{x} + (1 - \ln x)^2$$ وليكن $(C_f)$ المنحنى الممثل للدالة $f$ في معلم متعامد ممنظم $(O; \vec{i}, \vec{j})$ (الوحدة: $1\,\text{cm}$). 1. **أ) (0.25 ن)** تحقق أنه لكل $x$ من $]0, +\infty[$: $f(x) = \dfrac{3x - 2 - 2x\ln x + x(\ln x)^2}{x}$. **ب) (0.5 ن)** بين أن $\lim\limits_{x \to 0^+} x(\ln x)^2 = 0$ وأن $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x} = 0$ (يمكن وضع $t = \sqrt{x}$). **ج) (0.5 ن)** استنتج أن $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ ثم أعط تأويلا هندسيا للنتيجة. **د) (0.75 ن)** أحسب $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ ثم بين أن المنحنى $(C_f)$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الأفاصيل بجوار $+\infty$. 2. **(0.5 ن)** بين أن $f'(x) = \dfrac{2(1 - x + x\ln x)}{x^2}$ لكل $x$ من $]0, +\infty[$. 3. باستثمار جدول تغيرات الدالة المشتقة $f'$ على المجال $]0, +\infty[$ المعطى في الموضوع: $f'$ تناقصية من $+\infty$ إلى $0$ على $]0,1]$، تزايدية على $[1, \beta]$، ثم تناقصية على $[\beta, +\infty[$ ونهايتها $0$ عند $+\infty$ (نعطي $\beta \approx 4{,}9$):  **أ) (0.5 ن)** أثبت أن الدالة $f$ تزايدية قطعا على المجال $]0, +\infty[$ ثم ضع جدول تغيرات $f$. **ب) (0.5 ن)** أنشئ جدول إشارة الدالة المشتقة الثانية $f''$ للدالة $f$ على المجال $]0, +\infty[$. **ج) (1 ن)** استنتج تقعر المنحنى $(C_f)$ محددا أفصولي نقطتي انعطافه. 4. المنحنى $(C_g)$ المعطى في الموضوع هو التمثيل المبياني للدالة $g : x \mapsto f(x) - x$ والتي تنعدم في $\alpha$ و $1$ ($\alpha \approx 0{,}3$)، وهو فوق محور الأفاصيل بين $\alpha$ و $1$ فقط. ليكن $(\Delta)$ المستقيم ذو المعادلة $y = x$.  **أ) (0.5 ن)** انطلاقا من المنحنى $(C_g)$، حدد إشارة الدالة $g$ على $]0, +\infty[$. **ب) (0.5 ن)** استنتج أن المستقيم $(\Delta)$ يوجد تحت $(C_f)$ على المجال $[\alpha, 1]$ وفوق $(C_f)$ على كل من $]0, \alpha]$ و $[1, +\infty[$. 5. **(1.5 ن)** أنشئ المنحنى $(C_f)$ والمستقيم $(\Delta)$ في المعلم $(O; \vec{i}, \vec{j})$ (نأخذ $\alpha \approx 0{,}3$ و $\beta \approx 4{,}9$ و $f(\beta) \approx 1{,}9$). 6. **أ) (0.5 ن)** تحقق أن الدالة $x \mapsto 2x - x\ln x$ دالة أصلية للدالة $x \mapsto 1 - \ln x$ على $[\alpha, 1]$. **ب) (1 ن)** باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن $\displaystyle\int_{\alpha}^{1} (1 - \ln x)^2\,dx = 5(1 - \alpha) + \alpha(4 - \ln\alpha)\ln\alpha$. **ج) (0.75 ن)** استنتج بدلالة $\alpha$ مساحة حيز المستوى المحصور بين منحنى الدالة $f$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x = \alpha$ و $x = 1$. 7. لتكن $(u_n)$ المتتالية العددية المعرفة بـ $u_0 \in\, ]\alpha, 1[$ والعلاقة $u_{n+1} = f(u_n)$ لكل $n$ من $\mathbb{N}$. **أ) (0.5 ن)** بين بالترجع أن $\alpha < u_n < 1$ لكل $n$ من $\mathbb{N}$. **ب) (0.5 ن)** بين أن المتتالية $(u_n)$ تزايدية (يمكن استعمال السؤال 4) ب)). **ج) (0.75 ن)** استنتج أن المتتالية $(u_n)$ متقاربة واحسب نهايتها. > جدول تغيرات $f'$ والمنحنى $(C_g)$ موجودان في الموضوع الرسمي (رسوم غير معروضة هنا).

### التمرين الأول — الهندسة الفضائية الدروس المطلوبة: الجداء المتجهي، المسافة بين نقطة ومستقيم وبين نقطة ومستوى، معادلة فلكة، الوضع النسبي لمستوى وفلكة. **1.أ)** لدينا $\overrightarrow{AB}(2, 0, -2)$ و $\overrightarrow{AC}(2, 4, -4)$، إذن: $$\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \big(0\cdot(-4) - (-2)\cdot 4\big)\vec{i} - \big(2\cdot(-4) - (-2)\cdot 2\big)\vec{j} + \big(2\cdot 4 - 0\cdot 2\big)\vec{k} = 8\vec{i} + 4\vec{j} + 8\vec{k} = 4\left(2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}\right)$$ **1.ب)** $\left\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right\| = 4\sqrt{4 + 1 + 4} = 12$، إذن مساحة المثلث $ABC$ هي $\frac{1}{2} \times 12 = 6$ (وحدة مساحة). وبما أن $AC = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$ فإن: $d\big(B, (AC)\big) = \dfrac{\left\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right\|}{AC} = \dfrac{12}{6} = 2$. **2.أ)** $D$ منتصف $[AC]$ إذن $D(1, 3, 2)$ و $\overrightarrow{D\Omega}(2, 1, 2) = \frac{1}{4}(8, 4, 8) = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right)$. **2.ب)** المتجهة $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ منظمية على المستوى $(ABC)$، إذن $\overrightarrow{D\Omega}$ منظمية عليه أيضا، و $D \in (ABC)$. إذن $D$ هي المسقط العمودي لـ $\Omega$ على $(ABC)$ و: $$d\big(\Omega, (ABC)\big) = D\Omega = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$$ **3.أ)** $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 8z + 32 = 0 \iff (x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-4)^2 = 9$. إذن $(S)$ هي الفلكة التي مركزها $\Omega(3, 4, 4)$ وشعاعها $R = 3$. **3.ب)** $d\big(\Omega, (ABC)\big) = 3 = R$، إذن المستوى $(ABC)$ مماس للفلكة $(S)$ في المسقط العمودي لـ $\Omega$ على $(ABC)$، أي في النقطة $D(1, 3, 2)$. **4)** المستويان $(Q_1)$ و $(Q_2)$ موازيان لـ $(ABC)$، إذن $\vec{n}(2, 1, 2)$ منظمية عليهما ومعادلتهما من الشكل $2x + y + 2z + m = 0$. مستوى يبعد عن $\Omega$ بالمسافة $h$ يقطع $(S)$ وفق دائرة شعاعها $r = \sqrt{R^2 - h^2}$. لدينا $r = \sqrt{5}$ إذن $h^2 = 9 - 5 = 4$ أي $h = 2$: $$\frac{|2\cdot 3 + 4 + 2\cdot 4 + m|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 2 \iff |18 + m| = 6 \iff m = -12 \text{ أو } m = -24$$ إذن $(Q_1) : 2x + y + 2z - 12 = 0$ و $(Q_2) : 2x + y + 2z - 24 = 0$. --- ### التمرين الثاني — الأعداد العقدية الدروس المطلوبة: الشكل المثلثي، المرافق، العمدة، استقامية النقط، الكتابة العقدية لدوران. **1)** $|a| = \sqrt{2 + 2} = 2$ و $a = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$. **2.أ)** $b - d = 1 + \sqrt{2} + i - 2i = 1 + \sqrt{2} - i = \bar{b} = c$. **2.ب)** $b - a = 1 + i(1 - \sqrt{2})$، إذن: $$(\sqrt{2} + 1)(b - a) = (\sqrt{2} + 1) + i(\sqrt{2} + 1)(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} + 1 - i = b - d$$ إذن $\overrightarrow{DB} = (\sqrt{2} + 1)\overrightarrow{AB}$ مع $\sqrt{2} + 1 \in \mathbb{R}$، ومنه النقط $A$ و $B$ و $D$ مستقيمية. **3.أ)** $ac = (\sqrt{2} + i\sqrt{2})(1 + \sqrt{2} - i) = \sqrt{2} + 2 - i\sqrt{2} + i\sqrt{2} + 2i + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} + 2i = 2b$. **3.ب)** $\arg(ac) \equiv \arg(a) + \arg(\bar{b}) \equiv \frac{\pi}{4} - \arg(b)\; [2\pi]$ و $\arg(2b) \equiv \arg(b)\; [2\pi]$. إذن $\arg(b) \equiv \frac{\pi}{4} - \arg(b)\; [2\pi]$، أي $2\arg(b) \equiv \frac{\pi}{4}\; [2\pi]$. **4.أ)** الكتابة العقدية للدوران $R$ هي $z' = e^{i\pi/4} z$، و $e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{2}$، إذن $z' = \frac{1}{2} a z$. **4.ب)** $\frac{1}{2} a c = \frac{1}{2} \times 2b = b$ إذن $R(C) = B$. $\frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(2 + 4i - 2) = 2i = d$ إذن $R(A) = D$. **4.ج)** $b - a = 1 + i(1 - \sqrt{2})$ و $c - a = 1 - i(1 + \sqrt{2})$. بضرب البسط والمقام في مرافق المقام: $$\frac{b - a}{c - a} = \frac{\big(1 + i(1 - \sqrt{2})\big)\big(1 + i(1 + \sqrt{2})\big)}{1 + (1 + \sqrt{2})^2} = \frac{2 + 2i}{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{1 + i}{2 + \sqrt{2}}$$ وبما أن $1 + i = \frac{a}{\sqrt{2}}$ فإن $\dfrac{b - a}{c - a} = \dfrac{a}{2(\sqrt{2} + 1)} = \left(\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) a$. وبما أن $\frac{\sqrt{2} - 1}{2} > 0$: $\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}\right) \equiv \arg\left(\frac{b - a}{c - a}\right) \equiv \arg(a) \equiv \frac{\pi}{4}\; [2\pi]$. --- ### التمرين الثالث — حساب الاحتمالات الدروس المطلوبة: الاحتمال الشرطي، شجرة الإمكانيات، المتغير العشوائي وقانون احتماله. بعد السحب الأول يصبح الصندوق $U_2$ يحتوي على **6** كرات (الخمس الأصلية والكرة المسحوبة من $U_1$). **1.أ)** $U_1$ يحتوي على ثلاث كرات تحمل العدد 1 من أصل ست: $p(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. **1.ب)** $ab = 2$ إذا كان ($a = 1$ و $b = 2$) أو ($a = 2$ و $b = 1$): - إذا كان $a = 1$ يحتوي $U_2$ على $1;1;1;1;2;2$: الاحتمال $\frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$؛ - إذا كان $a = 2$ يحتوي $U_2$ على $1;1;1;2;2;2$: الاحتمال $\frac{1}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{12}$. إذن $p(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$. **2)** $A \cap B$: « $a = 1$ و $b = 2$ » إذن $p(A \cap B) = \frac{1}{6}$ و $p(A/B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{1/6}{1/4} = \dfrac{2}{3}$. **3.أ)** $X = 0 \iff a = 0$: $p(X = 0) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. **3.ب)** - $p(X = 0) = \frac{1}{3}$ - $p(X = 1) = p(a = 1 \text{ و } b = 1) = \frac{3}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{1}{3}$ - $p(X = 2) = p(B) = \frac{1}{4}$ - $p(X = 4) = p(a = 2 \text{ و } b = 2) = \frac{1}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{12}$ تحقق: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = 1$. **3.ج)** $M = (X = 2) \cup (X = 4)$ إذن $p(M) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$، و $N = (X = 1)$ إذن $p(N) = \frac{1}{3}$. إذن الحدثان $M$ و $N$ متساويا الاحتمال. --- ### المسألة — الدوال والتكامل والمتتاليات الدروس المطلوبة: دالة اللوغاريتم النيبيري ونهاياتها الاعتيادية، الاشتقاق والمشتقة الثانية (التقعر ونقط الانعطاف)، المكاملة بالأجزاء وحساب المساحات، المتتاليات من الشكل $u_{n+1} = f(u_n)$. **1.أ)** $f(x) = 2 - \frac{2}{x} + 1 - 2\ln x + (\ln x)^2 = \dfrac{3x - 2 - 2x\ln x + x(\ln x)^2}{x}$. **1.ب)** بوضع $t = \sqrt{x}$ ($x = t^2$ و $\ln x = 2\ln t$): - $x(\ln x)^2 = 4(t\ln t)^2 \to 0$ عندما $x \to 0^+$ (لأن $\lim_{t \to 0^+} t\ln t = 0$)؛ - $\dfrac{(\ln x)^2}{x} = 4\left(\dfrac{\ln t}{t}\right)^2 \to 0$ عندما $x \to +\infty$ (لأن $\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t} = 0$). **1.ج)** عندما $x \to 0^+$: البسط يؤول إلى $-2$ والمقام إلى $0^+$، إذن $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. التأويل الهندسي: المستقيم ذو المعادلة $x = 0$ (محور الأراتيب) مقارب عمودي للمنحنى $(C_f)$. **1.د)** $\lim\limits_{x \to +\infty}\left(2 - \frac{2}{x}\right) = 2$ و $\lim\limits_{x \to +\infty}(1 - \ln x)^2 = +\infty$، إذن $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. و $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2\ln x}{x} + \dfrac{(\ln x)^2}{x} \to 0$، إذن $(C_f)$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الأفاصيل بجوار $+\infty$. **2)** $f'(x) = \dfrac{2}{x^2} + 2(1 - \ln x)\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{2 - 2x(1 - \ln x)}{x^2} = \dfrac{2(1 - x + x\ln x)}{x^2}$. **3.أ)** من جدول تغيرات $f'$: على $]0, 1]$ تتناقص $f'$ نحو $f'(1) = 0$ إذن $f'(x) \geq 0$؛ وعلى $[1, +\infty[$ تتزايد $f'$ من $0$ إلى $f'(\beta)$ ثم تتناقص نحو $0$ دون أن تبلغه، إذن $f'(x) > 0$ لكل $x > 1$. إذن $f' \geq 0$ ولا تنعدم إلا في $1$: **$f$ تزايدية قطعا على $]0, +\infty[$**، من $-\infty$ (عند $0^+$) إلى $+\infty$، مع $f(1) = 1$. **3.ب)** $f''$ هي مشتقة $f'$: $f''(x) < 0$ على $]0, 1[$، $f''(x) > 0$ على $]1, \beta[$، $f''(x) < 0$ على $]\beta, +\infty[$، و $f''(1) = f''(\beta) = 0$. **3.ج)** $(C_f)$ مقعر على $]0, 1]$، محدب على $[1, \beta]$، مقعر على $[\beta, +\infty[$. تنعدم $f''$ مع تغيير الإشارة في $1$ وفي $\beta$: أفصولا نقطتي الانعطاف هما $1$ (النقطة $I(1, 1)$) و $\beta$ (النقطة $J(\beta, f(\beta))$). **4.أ)** من المنحنى $(C_g)$: $g(x) < 0$ على $]0, \alpha[$، و $g(x) > 0$ على $]\alpha, 1[$، و $g(x) < 0$ على $]1, +\infty[$، مع $g(\alpha) = g(1) = 0$. **4.ب)** $g(x) = f(x) - x$: - على $[\alpha, 1]$: $g(x) \geq 0$ أي $f(x) \geq x$: المستقيم $(\Delta)$ تحت $(C_f)$؛ - على $]0, \alpha]$ و $[1, +\infty[$: $g(x) \leq 0$ أي $f(x) \leq x$: المستقيم $(\Delta)$ فوق $(C_f)$. **5)** عناصر الإنشاء: مقارب عمودي $x = 0$؛ نقطتا التقاطع مع $(\Delta)$: $(\alpha, \alpha) \approx (0{,}3\,;\,0{,}3)$ و $(1, 1)$؛ نقطتا الانعطاف $I(1, 1)$ (المماس فيها أفقي لأن $f'(1) = 0$) و $J(4{,}9\,;\,1{,}9)$؛ فرع شلجمي في اتجاه محور الأفاصيل. **6.أ)** $(2x - x\ln x)' = 2 - \left(\ln x + x \cdot \frac{1}{x}\right) = 1 - \ln x$، إذن هي دالة أصلية لـ $1 - \ln x$. **6.ب)** نضع $u(x) = (1 - \ln x)^2$، $u'(x) = -\frac{2}{x}(1 - \ln x)$، $v'(x) = 1$، $v(x) = x$: $$\int_{\alpha}^{1} (1 - \ln x)^2\,dx = \Big[x(1 - \ln x)^2\Big]_{\alpha}^{1} + 2\int_{\alpha}^{1} (1 - \ln x)\,dx = 1 - \alpha(1 - \ln\alpha)^2 + 2\Big[2x - x\ln x\Big]_{\alpha}^{1}$$ $$= 1 - \alpha + 2\alpha\ln\alpha - \alpha(\ln\alpha)^2 + 4 - 4\alpha + 2\alpha\ln\alpha = 5(1 - \alpha) + \alpha(4 - \ln\alpha)\ln\alpha$$ **6.ج)** على $[\alpha, 1]$ الدالة $f$ تزايدية و $f(\alpha) = \alpha > 0$، إذن $f \geq 0$. المساحة (الوحدة $1\,\text{cm}^2$): $$\int_{\alpha}^{1} f(x)\,dx = \Big[2x - 2\ln x\Big]_{\alpha}^{1} + \int_{\alpha}^{1} (1 - \ln x)^2\,dx = \Big(7(1 - \alpha) + (2 + 4\alpha - \alpha\ln\alpha)\ln\alpha\Big)\ \text{cm}^2$$ **7.أ)** من أجل $n = 0$: $\alpha < u_0 < 1$ (معطى). نفترض أن $\alpha < u_n < 1$. بما أن $f$ تزايدية قطعا: $f(\alpha) < f(u_n) < f(1)$، أي $\alpha < u_{n+1} < 1$ (لأن $f(\alpha) = \alpha$ و $f(1) = 1$ إذ $g(\alpha) = g(1) = 0$). إذن حسب مبدأ الترجع: $\alpha < u_n < 1$ لكل $n$. **7.ب)** لكل $n$: $u_n \in\, ]\alpha, 1[$ وحسب 4.ب) $f(x) \geq x$ على $[\alpha, 1]$، إذن $u_{n+1} = f(u_n) \geq u_n$: المتتالية تزايدية. **7.ج)** $(u_n)$ تزايدية ومكبورة بـ $1$ إذن متقاربة. نهايتها $\ell$ تحقق $f(\ell) = \ell$ (لأن $f$ متصلة على $[\alpha, 1]$ و $f([\alpha, 1]) = [\alpha, 1]$)، إذن $\ell = \alpha$ أو $\ell = 1$. وبما أن $u_n \geq u_0 > \alpha$ لكل $n$ فإن $\ell \geq u_0 > \alpha$، إذن $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$.