Concours de recrutement des techniciens - Office National Des Aéroports (ONDA) - Électrotechnique - Épreuve de spécialité (4 exercices)

### Office National Des Aéroports (ONDA) ## Concours de recrutement — Épreuve d'électrotechnique (session non indiquée) > ⚠️ La page de garde (page 1 sur 10 : intitulé exact du concours, date, durée) ne figure pas sur les photos ; les pages de réponse intermédiaires ne sont pas toutes photographiées, mais les quatre exercices sont complets (barème de 10 points chacun). Le sujet se présente sous forme de document-réponse (lignes pointillées à compléter). --- ### Exercice (1) sur 10 points **1)** Quels sont les inconvénients d'un mauvais facteur de puissance pour le producteur de l'énergie électrique et pour le consommateur de cette énergie ? **(2 pts)** **2)** Quels sont les inconvénients du démarrage direct d'un moteur asynchrone triphasé ? **(2 pts)** **3)** Comment inverse-t-on le sens de rotation des moteurs suivants : **(2 pts)** - Moteur asynchrone triphasé. - Moteur asynchrone monophasé. - Moteur à courant continu. **4)** Donner les schémas de puissance et de commande de démarrage d'un moteur asynchrone étoile-triangle en deux sens. **(4 pts)** ### Exercice (2) sur 10 points Un moteur de 100 chevaux est alimenté par un câble basse tension en triphasé 380 V, 50 Hz depuis un poste de transformation sur une longueur de 200 m. On donne : - 1 cheval = 736 W - $\cos\varphi = 0{,}8$ **1)** Quelle est la puissance nominale du moteur en kW et kVA ? **(3 pts)** **2)** Quel est le courant absorbé par le moteur en régime nominal ? **(2 pts)** **3)** Sachant que le départ alimentant le moteur est constitué par un câble triphasé de 70 mm² de section cuivre : **a)** Quelle est la chute de tension en volt calculée au bout du départ ? (on donne : $\rho$ = résistivité du cuivre $= 17 \times 10^{-9}\ \Omega\cdot\text{m}$) **(3 pts)** *N.B. : on néglige la réactance du câble devant sa résistance.* **b)** Quelle est la tension calculée au bout de ligne ? **(2 pts)** ### Exercice (3) sur 10 points **Circuit RLC :** nous nous intéressons dans ce premier exercice au montage représenté à la figure 1. > 🖼️ Figure 1 : (a) Montage étudié — une source de tension $v_e(t)$ alimente une résistance R en série avec une bobine L ; un condensateur C est branché en sortie, la tension à ses bornes étant $v_s(t)$. (b) Schéma bloc du système — $V_e(p)$ → bloc $F_1(p)$ → $V_s(p)$. **1)** Exprimer la tension $v_e(t)$ en fonction de $v_s(t)$. La tension de sortie à l'instant $t = 0$ est considérée nulle. **(3 pts)** *Notez bien :* $i(t) = C\,\dfrac{dv_s(t)}{dt}$ et $v_L(t) = L\,\dfrac{di(t)}{dt}$. **2)** La forme standard d'une fonction de transfert du second ordre est la suivante : $$F(p) = \frac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}\,p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$$ *Notez bien — transformée des dérivées :* $f'(t) \rightarrow p\,F(p)$ ; $f''(t) \rightarrow p^2 F(p)$. Exprimer sous cette forme la fonction de transfert $F_1(p) = V_s(p)/V_e(p)$. **(3 pts)** **3)** Donner et définir l'expression des constantes $K$, $\xi$ et $\omega_0$. **(3 pts)** **4)** Donner la transformée de Laplace inverse de la fonction $F_1(p)$ (voir le tableau en annexe). **(1 pt)** ### Exercice (4) sur 10 points La plaque signalétique du moteur asynchrone d'une fraiseuse porte les indications suivantes : - 3 ~ 50 Hz - Δ 220 V — 11 A - Y 380 V — 6,4 A - 1455 tr/min — $\cos\varphi = 0{,}80$ **1)** Le moteur est alimenté par un réseau triphasé 50 Hz, 380 V entre phases. Quel doit être le couplage de ses enroulements pour qu'il fonctionne normalement ? **(1 pt)** **2)** Quel est le nombre de pôles du stator ? **(2 pts)** **3)** Calculer le glissement nominal (en %). **(1 pt)** **4)** Un essai à vide sous tension nominale donne : - puissance absorbée : $P_a = 260$ W - intensité du courant de ligne : $I = 3{,}2$ A Les pertes mécaniques sont évaluées à 130 W. La mesure à chaud de la résistance d'un enroulement du stator donne $r = 0{,}65\ \Omega$. En déduire les pertes fer. **(2 pts)** > ⚠️ La valeur de r est en bord de photo ; lecture probable 0,65 Ω. **5)** Pour le fonctionnement nominal, calculer : **(4 pts)** - les pertes par effet Joule au stator ; - les pertes par effet Joule au rotor ; - le rendement ; - le couple utile $T_u$. ### Annexe — Transformée de Laplace inverse | $F(p)$ | $f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(p)]$ | |---|---| | $\dfrac{1}{p(1+\tau p)^2}$ | $1 - \left(1 + \dfrac{t}{\tau}\right)e^{-t/\tau}$ | | $\dfrac{1}{p^2(1+\tau p)}$ | $t - \tau + \tau e^{-t/\tau}$ | | $\dfrac{1}{(1+\tau_1 p)(1+\tau_2 p)}$ | $\dfrac{e^{-t/\tau_1} - e^{-t/\tau_2}}{\tau_1 - \tau_2}$ | | $\dfrac{1}{p(1+\tau_1 p)(1+\tau_2 p)}$ | $1 - \dfrac{\tau_1 e^{-t/\tau_1} - \tau_2 e^{-t/\tau_2}}{\tau_1 - \tau_2}$ | | $\dfrac{\omega}{p^2+\omega^2}$ | $\sin(\omega t)$ | | $\dfrac{p}{p^2+\omega^2}$ | $\cos(\omega t)$ | | $\dfrac{p + z\omega_0}{\omega_0^2 + 2z\omega_0 p + p^2}$ | $e^{-z\omega_0 t}\cos(\omega_p t)$ avec $\omega_p = \omega_0\sqrt{1-z^2}$ | | $\dfrac{1}{1 + \frac{2z}{\omega_0}p + \frac{1}{\omega_0^2}p^2}$ | $\dfrac{\omega_0}{\sqrt{1-z^2}}\,e^{-z\omega_0 t}\sin(\omega_p t)$ | | $\dfrac{1}{p\left(1 + \frac{2z}{\omega_0}p + \frac{1}{\omega_0^2}p^2\right)}$ | $1 - \dfrac{\omega_0}{\omega_p}\,e^{-z\omega_0 t}\sin(\omega_p t + \psi)$ avec $\psi = \arccos z$ |

> Corrigé proposé pour la révision. ## Exercice 1 **1) Mauvais facteur de puissance (cos φ faible)** — à puissance active égale, le courant appelé $I = \frac{P}{\sqrt{3}\,U\cos\varphi}$ augmente : - *Producteur / distributeur :* surdimensionnement des alternateurs, transformateurs et lignes (plus de kVA pour les mêmes kW), pertes Joule accrues ($RI^2$), chutes de tension plus fortes, capacité de transport réduite. - *Consommateur :* facturation de l'énergie réactive / pénalités, câbles et appareillage plus gros, pertes et échauffements internes, chutes de tension, puissance disponible du transformateur réduite. Remède : compensation par batteries de condensateurs. **2) Démarrage direct** : courant de démarrage de 5 à 8 fois $I_n$ → chute de tension sur le réseau (perturbe les autres récepteurs), échauffement, couple de démarrage brutal (contraintes mécaniques : à-coups sur les accouplements, courroies, réducteurs), dimensionnement des protections. Il est réservé aux petites puissances. **3) Inversion du sens de rotation** - *Asynchrone triphasé :* permuter deux des trois phases d'alimentation. - *Asynchrone monophasé :* inverser les connexions de l'enroulement auxiliaire (de démarrage) par rapport à l'enroulement principal (ou permuter le condensateur d'un enroulement à l'autre pour un moteur à deux enroulements identiques). - *Moteur à courant continu :* inverser la polarité de l'induit **ou** celle de l'inducteur (pas les deux). **4) Démarrage étoile-triangle deux sens** (description des schémas attendus) - *Circuit de puissance :* sectionneur porte-fusibles Q1 → contacteur KM1 (sens 1) et KM2 (sens 2, avec permutation de deux phases) en parallèle → relais thermique F1 → bornes U1, V1, W1 du moteur ; les bornes W2, U2, V2 sont reliées soit à KM3 (contacteur **étoile** qui court-circuite W2-U2-V2), soit à KM4 (contacteur **triangle** qui relie W2-U2-V2 respectivement à U1-V1-W1). - *Circuit de commande :* F1 (contact O) en série avec S0 (arrêt) ; S1 (marche sens 1) alimente KM1 avec auto-maintien ; S2 (marche sens 2) alimente KM2 avec auto-maintien ; verrouillages électriques (contact O de KM2 dans la branche KM1 et réciproquement), éventuellement mécanique ; à la mise sous tension de KM1 ou KM2 : KM3 (étoile) et le temporisateur KA1 ; à la fin de la temporisation (2 à 5 s), le contact temporisé O de KA1 coupe KM3 et le contact F alimente KM4 (triangle) ; verrouillage électrique KM3/KM4. > ⚠️ Les schémas normalisés (symboles IEC) doivent être dessinés à la main ; la description ci-dessus en fixe l'architecture. ## Exercice 2 **1) Puissance nominale** $$P = 100 \times 736 = 73\,600 \text{ W} = 73{,}6 \text{ kW} \qquad S = \frac{P}{\cos\varphi} = \frac{73{,}6}{0{,}8} = 92 \text{ kVA}$$ (Le rendement n'étant pas donné, la puissance de 100 ch est assimilée à la puissance appelée ⚠️.) **2) Courant absorbé** $$I = \frac{S}{\sqrt{3}\,U} = \frac{92\,000}{\sqrt{3} \times 380} \approx 139{,}8 \text{ A}$$ **3-a) Chute de tension** Résistance d'un conducteur : $R = \rho\,\dfrac{L}{S} = 17 \times 10^{-9} \times \dfrac{200}{70 \times 10^{-6}} \approx 0{,}0486\ \Omega$. En triphasé, réactance négligée : $$\Delta U = \sqrt{3}\,R\,I\cos\varphi = \sqrt{3} \times 0{,}0486 \times 139{,}8 \times 0{,}8 \approx 9{,}4 \text{ V}$$ (soit ≈ 2,5 % de 380 V). ⚠️ Si l'on ne tient pas compte du cos φ ($\Delta U = \sqrt{3}RI$), on obtient ≈ 11,8 V. **3-b) Tension en bout de ligne** $$U' = 380 - 9{,}4 \approx 370{,}6 \text{ V}$$ ## Exercice 3 **1) Équation différentielle** — loi des mailles : $v_e = R\,i + L\dfrac{di}{dt} + v_s$ avec $i = C\dfrac{dv_s}{dt}$ : $$v_e(t) = LC\,\frac{d^2 v_s}{dt^2} + RC\,\frac{dv_s}{dt} + v_s(t)$$ **2) Fonction de transfert** — conditions initiales nulles : $$V_e(p) = (LC\,p^2 + RC\,p + 1)\,V_s(p) \;\Rightarrow\; F_1(p) = \frac{V_s(p)}{V_e(p)} = \frac{1}{1 + RC\,p + LC\,p^2}$$ **3) Identification** avec $F(p) = \dfrac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$ : - $K = 1$ : gain statique (en régime permanent continu, $v_s = v_e$) ; - $\dfrac{1}{\omega_0^2} = LC \Rightarrow \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ : pulsation propre (rad/s) ; - $\dfrac{2\xi}{\omega_0} = RC \Rightarrow \xi = \dfrac{RC\,\omega_0}{2} = \dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ : coefficient d'amortissement (sans unité). **4) Transformée inverse** (ligne 8 de l'annexe, cas $\xi < 1$, $\omega_p = \omega_0\sqrt{1-\xi^2}$) : $$f_1(t) = \mathcal{L}^{-1}[F_1(p)] = \frac{\omega_0}{\sqrt{1-\xi^2}}\,e^{-\xi\omega_0 t}\sin(\omega_p t)$$ C'est la réponse impulsionnelle du circuit (oscillations amorties). ## Exercice 4 **1) Couplage** : chaque enroulement supporte 220 V ; sur un réseau 380 V entre phases, il faut coupler en **étoile (Y)** ($380/\sqrt{3} = 220$ V par enroulement). **2) Nombre de pôles** : $n = 1455$ tr/min → vitesse de synchronisme immédiatement supérieure $n_s = 1500$ tr/min $= \dfrac{60 f}{p}$ ⇒ $p = 2$ paires de pôles, soit **4 pôles**. **3) Glissement nominal** $$g = \frac{n_s - n}{n_s} = \frac{1500 - 1455}{1500} = 0{,}03 = 3\,\%$$ **4) Pertes fer** (couplage étoile, r = résistance d'un enroulement, courant de ligne = courant d'enroulement) : $$P_{js0} = 3\,r\,I_0^2 = 3 \times 0{,}65 \times 3{,}2^2 \approx 20 \text{ W}$$ $$P_{fer} = P_{a0} - P_{js0} - P_{\text{méca}} = 260 - 20 - 130 = 110 \text{ W}$$ (À vide, les pertes Joule rotor sont négligées.) **5) Fonctionnement nominal** ($I = 6{,}4$ A, $U = 380$ V) - Puissance absorbée : $P_a = \sqrt{3} \times 380 \times 6{,}4 \times 0{,}8 \approx 3\,370$ W. - Pertes Joule stator : $P_{js} = 3 \times 0{,}65 \times 6{,}4^2 \approx 79{,}9$ W. - Puissance transmise au rotor : $P_{tr} = 3\,370 - 79{,}9 - 110 \approx 3\,180$ W. - Pertes Joule rotor : $P_{jr} = g\,P_{tr} = 0{,}03 \times 3\,180 \approx 95{,}4$ W. - Puissance utile (pertes mécaniques supposées constantes) : $P_u = 3\,180 - 95{,}4 - 130 \approx 2\,955$ W. - Rendement : $\eta = \dfrac{2\,955}{3\,370} \approx 0{,}877$, soit **≈ 87,7 %**. - Couple utile : $\Omega = \dfrac{2\pi \times 1455}{60} \approx 152{,}4$ rad/s ⇒ $T_u = \dfrac{P_u}{\Omega} = \dfrac{2\,955}{152{,}4} \approx 19{,}4$ N·m. > ⚠️ Résultats calculés avec r = 0,65 Ω (lecture probable de la photo).